asıyla
Buna göre mavi renkli dikdörtgenin kısa kenarının
D.
O Dirimkare ve 10 birimkare olan yeşil ve sar renkli
Idaki
dikOorigenlerin birer kenarları ile çakıştırilarak
şekil elde edilmiştir.
8 birim
11 birim
uzunluğu kaç birimdir?
A) 23
B)
c)
Mavi Renkli Dikdörtgenin Kısa Kenar Uzunluğunun Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Dikdörtgenin Alanı: \text{Alan} = \text{Kısa Kenar} \times \text{Uzun Kenar}
- Ortak yüksekliğe (h) sahip yan yana dizilmiş dikdörtgenlerde taban uzunluğu: \text{Genişlik} = \frac{\text{Alan}}{h}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama
- Şekildeki tüm dikdörtgenlerin dikey kenar uzunluğu (yüksekliği) ortak olup h birim olsun.
- Yeşil dikdörtgenin yatay kenarı: x_1
- Mavi dikdörtgenin yatay kenarı: x_2
- Sarı dikdörtgenin yatay kenarı: x_3
Adım 2 — Verilen Uzunluk Bağıntılarını Yazma
- Şeklin altındaki ölçüye göre yeşil ve mavi dikdörtgenlerin toplam genişliği:x_1 + x_2 = 11
- Şeklin üstündeki ölçüye göre mavi ve sarı dikdörtgenlerin toplam genişliği:x_2 + x_3 = 8
Adım 3 — Alan Değerlerini Kenar Uzunluklarına Dönüştürme
- Yeşil dikdörtgenin alanı 30\text{ birimkare} olduğundan:x_1 \cdot h = 30 \implies x_1 = \frac{30}{h}
- Sarı dikdörtgenin alanı 10\text{ birimkare} olduğundan:x_3 \cdot h = 10 \implies x_3 = \frac{10}{h}
Adım 4 — Ortak Yükseklik (h) Değerini Bulma
- Birinci denklemden ikinci denklemi taraf tarafa çıkaralım:(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) = 11 - 8x_1 - x_3 = 3
- x_1 ve x_3 değerlerini h cinsinden yerine yazalım:\frac{30}{h} - \frac{10}{h} = 3\frac{20}{h} = 3 \implies h = \frac{20}{3}\text{ birim}
Adım 5 — Mavi Dikdörtgenin Kenarlarını Belirleme
-
İkinci denklemde sarı dikdörtgenin genişliğini yerine koyarak mavi dikdörtgenin yatay kenarını (x_2) bulalım:
x_2 = 8 - x_3 = 8 - \frac{10}{h} = 8 - \frac{10}{\frac{20}{3}} = 8 - \left(10 \cdot \frac{3}{20}\right)x_2 = 8 - \frac{3}{2} = \frac{13}{2}\text{ birim} -
Mavi dikdörtgenin iki kenarını karşılaştıralım:
- Dikey kenar: h = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\text{ birim} (Uzun kenar)
- Yatay kenar: x_2 = \frac{13}{2} = 6{,}5\text{ birim} (Kısa kenar)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (\frac{13}{2})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Kenarlı Dikdörtgenler
- Tanım: İki veya daha fazla dikdörtgen birer kenarları boyunca çakıştırıldığında ortak bir kenar uzunluğunu paylaşırlar.
- Bu problemde: Yeşil, mavi ve sarı dikdörtgenlerin dikey kenar uzunlukları birbirine eşit (h) kabul edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
h Değerini Direkt Kısa Kenar Kabul Etmek
- Yanlış: Bulunan h = \frac{20}{3} değerini doğrudan kısa kenar olarak işaretlemek.
- Doğru: \frac{20}{3} \approx 6{,}67 ve \frac{13}{2} = 6{,}5 değerlerini kıyaslayıp daha küçük olan \frac{13}{2} değerini seçmek.
- Neden yanlış: Soruda mavi dikdörtgenin kısa kenarı sorulmaktadır; h = \frac{20}{3} uzun kenardır.
Benzer tipte bir TYT geometri/alan problemi oluşturup birlikte çözmemi ister misin?
daha basit bir dille anlatabilirmisin alanları niye h ye böldük
Dikdörtgende Kenar Bulma Mantığı ve Alanın Yüksekliğe Bölünme Nedeni
KULLANILAN TEMEL KURAL:
\text{Alan} = \text{Taban (Genişlik)} \times \text{Yükseklik}
\text{Taban (Genişlik)} = \frac{\text{Alan}}{\text{Yükseklik}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dikdörtgen Alanının Temel Mantığı
Bir dikdörtgenin alanını hesaplarken iki kenarını birbiriyle çarparız:
\text{Yatay Kenar (Genişlik)} \times \text{Dikey Kenar (Yükseklik)} = \text{Alan}
Eğer elimizde Alan ve Yükseklik (h) varsa, verilmeyen Genişliği bulmak için alanı ters işlem yaparak yüksekliğe böleriz:
\text{Genişlik} = \frac{\text{Alan}}{h}
- Örnek: Alanı 20\text{ cm}^2, yüksekliği 4\text{ cm} olan bir dikdörtgenin genişliği 20 \div 4 = 5\text{ cm} olur.
Adım 2 — Problemdeki Ortak Yükseklik Durumu
Şekildeki yeşil, mavi ve sarı dikdörtgenler yan yana dizilmiştir. Üst ve alt çizgileri düz bir hat oluşturduğu için üç dikdörtgenin de dikey kenar uzunluğu (yüksekliği) birbirine tamamen eşittir. Bu ortak yüksekliğe h diyelim.
Adım 3 — Alanları h’ye Bölerek Genişlikleri Yazma
- Yeşil Dikdörtgen: Alanı 30 olduğu için alt kenar genişliği \frac{30}{h} olur.
- Sarı Dikdörtgen: Alanı 10 olduğu için üst kenar genişliği \frac{10}{h} olur.
Adım 4 — Verilen Uzunlukların Farkını Alma
- Şeklin altındaki 11\text{ birim} uzunluk: \text{Yeşil Genişliği} + \text{Mavi Genişliği}
- Şeklin üstündeki 8\text{ birim} uzunluk: \text{Mavi Genişliği} + \text{Sarı Genişliği}
Alt kısımdan üst kısmı çıkardığımızda ortadaki ortak mavi parça yok olur ve geriye şu fark kalır:
\text{Yeşil Genişliği} - \text{Sarı Genişliği} = 11 - 8 = 3\text{ birim}
Adım 5 — h Değerini ve Mavi Dikdörtgenin Kenarını Bulma
- Genişliklerin h cinsinden değerlerini yerine yazalım:\frac{30}{h} - \frac{10}{h} = 3 \implies \frac{20}{h} = 3 \implies h = \frac{20}{3}\text{ birim}
- Sarı dikdörtgenin genişliği: \frac{10}{\frac{20}{3}} = \frac{3}{2} = 1{,}5\text{ birim}
- Mavi dikdörtgenin genişliği: 8 - 1{,}5 = \frac{13}{2} = 6{,}5\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (\frac{13}{2})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpmanın Ters İşlemi Olarak Bölme
- Tanım: Bir çarpma işleminde verilmeyen çarpanı bulmak için sonuç diğer çarpana bölünür.
- Bu problemde: \text{Genişlik} \times h = 30 olduğu için \text{Genişlik} = \frac{30}{h} şeklinde yazılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Alanları Direkt Olarak Kenar Uzunluğu Gibi Toplamak
- Yanlış: 30 + 10 = 40 diyerek kenar uzunluklarıyla alanları doğrudan eşitlemek.
- Doğru: Kenar uzunluklarını bulmak için alanları daima ortak kenara (h) bölmek.
- Neden yanlış: Alan iki boyutlu (\text{birimkare}), kenar uzunluğu ise tek boyutlu (\text{birim}) bir büyüklüktür; doğrudan toplanamazlar.
Bu mantığın tam oturması için adım adım ilerleyeceğimiz tek bilinmeyenli benzer bir soru çözmek ister misin?
daha daha daha basit anlat ve en son neden 13/2 geldiğini de anlat mala anlatır gibi
Dikdörtgen Probleminin En Sade ve Adım Adım Açıklaması
KULLANILAN KURAL:
\text{Alan} = \text{Yükseklik} \times \text{Genişlik} \implies \text{Genişlik} = \frac{\text{Alan}}{\text{Yükseklik}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Alanı Neden Yüksekliğe Bölüyoruz?
Bir dikdörtgende iki kenarı birbiriyle çarpınca alan çıkar.
- Örneğin boyu 5\text{ cm} olan bir kutunun alanı 20\text{ cm}^2 ise, alt kenarını bulmak için alanı boyuna böleriz:20 \div 5 = 4\text{ cm}
Bu soruda yeşil, mavi ve sarı kutuların hepsinin boyu (yüksekliği) aynı hizada ve eşittir. Bu boya h diyelim. Boyu bilmediğimiz için alt kenarları şöyle yazarız:
- Yeşil kutunun alt kenarı: \frac{30}{h}
- Sarı kutunun üst kenarı: \frac{10}{h}
Adım 2 — Aradaki Farkı Bulma Mantığı
- Şeklin altındaki çizgi: Yeşil + Mavi = 11\text{ birim}
- Şeklin üstündeki çizgi: Mavi + Sarı = 8\text{ birim}
İkisinde de Mavi parça ortak olduğuna göre, alttaki uzunluktan üstteki uzunluğu çıkarırsak aradaki fark tamamen Yeşil ile Sarı’nın farkından gelir:
\text{Yeşil Kenar} - \text{Sarı Kenar} = 11 - 8 = 3\text{ birim}
Adım 3 — Boyu (h) Hesaplama
Kenarları formül olarak yerine koyalım:
\frac{30}{h} - \frac{10}{h} = 3
\frac{20}{h} = 3
“20’yi hangi sayıya bölersek 3 eder?”
h = \frac{20}{3}\text{ birim}
Adım 4 — Sarı Kutunun Genişliğini Bulma
Sarı kutunun alanı 10, boyu ise \frac{20}{3} birimdir. Genişliğini bulmak için alanı boya bölelim:
\text{Sarı Genişlik} = 10 \div \frac{20}{3} = 10 \times \frac{3}{20} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}\text{ birim}\ (1{,}5\text{ birim})
Adım 5 — Sonucun Neden \frac{13}{2} Geldiğini Görme
Şeklin üst kısmında Mavi ile Sarı’nın toplamı 8\text{ birim} olarak verilmişti:
\text{Mavi Genişlik} + \text{Sarı Genişlik} = 8
\text{Mavi Genişlik} + 1{,}5 = 8
\text{Mavi Genişlik} = 8 - 1{,}5 = 6{,}5\text{ birim}
6{,}5 sayısını kesir olarak yazarsak:
6{,}5 = \frac{13}{2}\text{ birim}
Mavi dikdörtgenin iki kenarını kıyaslayalım:
- Dikey kenarı (boyu): \frac{20}{3} = 6{,}66\text{ birim}
- Yatay kenarı (eni): \frac{13}{2} = 6{,}50\text{ birim}
Soruda bizden kısa kenar istendiği için daha küçük olan 6{,}5 yani \frac{13}{2} doğru cevaptır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (\frac{13}{2})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ters İşlem Mantığı
- Tanım: Çarpılarak bulunan bir büyüklükte (Alan), çarpanlardan birini bulmak için bölme işlemi yapılır.
- Bu problemde: \text{Genişlik} \times h = \text{Alan} olduğundan, genişlik her zaman \frac{\text{Alan}}{h} şeklinde bulunur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesirli Sayılarda Hangisinin Küçük Olduğunu Karıştırmak
- Yanlış: \frac{20}{3} ile \frac{13}{2} kesirlerini kıyaslamadan doğrudan ilk bulunan h değerini işaretlemek.
- Doğru: Payda eşitleyerek (\frac{40}{6} ve \frac{39}{6}) veya ondalığa çevirerek (6{,}66 ve 6{,}50) küçük olanı seçmek.
- Neden yanlış: \frac{20}{3} \approx 6{,}66 uzun kenardır; soru ise kısa kenar olan \frac{13}{2} = 6{,}50 değerini sorar.
Aklına takılan herhangi bir işlem basamağı kaldı mı, yoksa mantık tam olarak oturdu mu?
pratik yolu var mı daha daha daha hızlı
Dikdörtgen Alan Probleminin Pratik (Oran-Orantı) Çözümü
KULLANILAN PRATİK KURAL: Yükseklikleri eşit olan dikdörtgenlerin taban uzunlukları, alanları ile doğru orantılıdır.
\text{Alan Oranı} = \text{Taban Oranı}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Alanlardan Taban Oranını Belirleme
Yeşil ve sarı dikdörtgenlerin yükseklikleri aynı olduğu için alanları tabanları ile orantılıdır:
- Yeşil Alan = 30 \implies \text{Yeşil Taban} = 3k
- Sarı Alan = 10 \implies \text{Sarı Taban} = 1k
Adım 2 — Verilen Uzunlukların Farkını Alma
- \text{Yeşil} + \text{Mavi} = 11
- \text{Mavi} + \text{Sarı} = 8
İki ifadeyi birbirinden çıkardığımızda ortak mavi kenar sıfırlanır:
\text{Yeşil Taban} - \text{Sarı Taban} = 11 - 8 = 3
Adım 3 — k Değerini Bulma
3k - 1k = 3
2k = 3 \implies k = \frac{3}{2} = 1{,}5\text{ birim}
- Sarı dikdörtgenin tabanı: 1k = 1{,}5\text{ birim}
Adım 4 — Mavi Dikdörtgenin Kenarını Tek İşlemde Bulma
Üst kenar toplamı 8\text{ birim} olduğuna göre:
\text{Mavi Kenar} = 8 - \text{Sarı Taban} = 8 - 1{,}5 = 6{,}5\text{ birim}
6{,}5 = \frac{13}{2}\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (\frac{13}{2})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Alan-Taban Orantı Prensibi
- Tanım: Yüksekliği sabit tutulan geometrik şekillerde alan büyüdükçe taban da aynı oranda büyür.
- Bu problemde: Alanı 30 ve 10 olan parçaların tabanlarına doğrudan 3k ve 1k denilerek yükseklik (h) denklemine girmeden saniyeler içinde sonuca ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
k Değerini Bulduktan Sonra Doğrudan İşaretlemek
- Yanlış: Bulunan k = \frac{3}{2} değerini cevaba yazmak.
- Doğru: k değerinin sarı dikdörtgene ait olduğunu hatırlayıp 8 - k işlemiyle mavi dikdörtgene geçmek.
- Neden yanlış: Soru sarı dikdörtgeni değil, mavi dikdörtgenin kenarını sormaktadır.
Bu pratik oran-orantı tekniğini pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmek ister misin?