Yandaki şekilde ABCD bir dörtgen; D, F, E ve C, B, K noktaları doğrusaldır. [AB] ap [DE] = \{F\}, [BE] dış açıortay, [DE] iç açıortay, m(widehat{A}) = 70^irc , m(widehat{C}) = 110^irc olarak veriliyor.
Buna göre m(widehat{DEB}) nün kaç derece olduğunu bulunuz.
Dörtgende Açıortaylar Arasındaki m(\widehat{DEB}) Açısının Hesaplanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir dörtgende iç açılar toplamı 360^\circ’dir:m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ
- Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
- Bir köşeye ait iç açıortay ile dış açıortay arasındaki açı 90^\circ’dir. Karşıt iki iç açıortay arasındaki dar açı \alpha = \frac{|m(\widehat{C}) - m(\widehat{A})|}{2} formülü ile bulunur. İç açıortay ile karşıt dış açıortay arasındaki açı ise bu açıyı 90^\circ’ye tamamlar.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Açıortayları Harflendirme
- [DE] doğrusu D köşesinin iç açıortayı olduğundan:m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{CDE}) = x \implies m(\widehat{D}) = 2x
- [BE] doğrusu B köşesinin dış açıortayı olduğundan:m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{EBK}) = y
- C, B, K noktaları doğrusal olduğundan, B köşesindeki iç açı:m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - 2y
Adım 2 — Dörtgenin İç Açılar Toplamından x ve y İlişkisini Bulma
- ABCD dörtgeninde iç açılar toplamı 360^\circ’dir:m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ70^\circ + (180^\circ - 2y) + 110^\circ + 2x = 360^\circ360^\circ + 2x - 2y = 360^\circ2x = 2y \implies x = y
Adım 3 — \triangle ADF Üçgeninde Dış Açı Bağıntısını Kurma
- [AB] ile [DE] doğrularının kesişim noktası F olsun.
- \triangle ADF üçgeninde F köşesindeki dış açı (\widehat{DFB} veya \triangle BFE üçgeninin iç açısı olan \widehat{AFE} ile ters açı ilişkisinden):m(\widehat{BFE}) = 180^\circ - (70^\circ + x)
Adım 4 — \triangle BEF Üçgeninden m(\widehat{DEB}) Açısını Hesaplama
- \triangle BEF üçgeninin iç açıları toplamı 180^\circ’dir:m(\widehat{BFE}) + m(\widehat{FBE}) + m(\widehat{FEB}) = 180^\circ[180^\circ - (70^\circ + x)] + y + m(\widehat{DEB}) = 180^\circ180^\circ - 70^\circ - x + y + m(\widehat{DEB}) = 180^\circ
- Adım 2’de x = y bulduğumuz için (y - x = 0):110^\circ + m(\widehat{DEB}) = 180^\circm(\widehat{DEB}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: m(\widehat{DEB}) = 70^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Dış Açıortay ve İç Açıortay İlişkisi
- Tanım: Aynı köşeye ait iç açıortay ile dış açıortay arasındaki açı her zaman 90^\circ’dir.
- Bu problemde: Karşıt iki iç açıortay arasındaki dar açı formülü \frac{|110^\circ - 70^\circ|}{2} = 20^\circ olup, dış açıortay kullanıldığı için aranan açı 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ olarak doğrulanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İç Açıortay Formülünü Doğrudan Uygulamak
- Yanlış: [BE] doğrusunu da iç açıortay sanıp \frac{110^\circ - 70^\circ}{2} = 20^\circ cevabını vermek.
- Doğru: [BE] bir dış açıortaydır. İki iç açıortay arasındaki açı 20^\circ iken, bir iç ve bir dış açıortay arasındaki açı 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ olur.
- Neden yanlış: Soruda [BE]'nin dış açıortay olduğu açıkça belirtilmiştir; formülleri uygularken verilen doğrunun iç mi yoksa dış açıortay mı olduğuna dikkat edilmelidir.
Bu soru tipinde karşılıklı iki dış açıortayın kesişimiyle ilgili benzer bir örnek çözmemi ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
m(\widehat{DEB}) Açısının Kısa ve Pratik Çözümü
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Karşıt İki İç Açıortay Arasındaki Açı: \alpha = \frac{|m(\widehat{C}) - m(\widehat{A})|}{2}
- İç ve Dış Açıortay İlişkisi: Bir köşede iç ve dış açıortay birbirine diktir (90^\circ). Dolayısıyla iç açıortay ile karşı köşenin dış açıortayı arasındaki açı 90^\circ - \alpha olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Karşıt İki İç Açıortay Arasındaki Açıyı Bulma
- B ve D köşelerindeki iki iç açıortay kesişseydi aralarındaki dar açı:\alpha = \frac{|110^\circ - 70^\circ|}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ
Adım 2 — Dış Açıortay ile İstenen Açıyı Hesaplama
- [BE] bir dış açıortay olduğundan, aranan açı 90^\circ’ye tamamlar:m(\widehat{DEB}) = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: m(\widehat{DEB}) = 70^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Dörtgende Açıortay Özelliği
- Tanım: Karşıt iki iç açıortay arasındaki açı taban açılarının farkının yarısıdır.
- Bu problemde: [BE] dış açıortay olduğu için bulunan 20^\circ’lik değer 90^\circ’den çıkarılarak 70^\circ sonucuna ulaşılır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dış Açıortayı İç Açıortay ile Karıştırmak
- Yanlış: Formülü doğrudan uygulayıp cevaba 20^\circ demek.
- Doğru: [BE] dış açıortay olduğu için 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ işlemini yapmak.
- Neden yanlış: Formüldeki 20^\circ, iki iç açıortay arasındaki açıdır; soruda verilen [BE] ise dış açıortaydır.
Benzer şekilde formülü pratikçe uygulayabileceğimiz bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?