Buna göre m(widehat AGD ) = x kaç derecedir?

Question Answer
1

Buna göre m(widehat{AGD}) = x kaç derecedir?
A) 15
B) 22,5
C) 30
D) 45
E) 60

Buna göre m(widehat AGD ) = x kaç derecedir?
Buna göre m(widehat AGD ) = x kaç derecedir?800×842 43.7 KB

2

Karede Trigonometrik Oran ve Açı Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir karenin bir kenar uzunluğu a ise köşegen uzunluğu:
    |BD| = a\sqrt{2}
  • Dik üçgende tanjant bağıntısı:
    \tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
  • Yarım açı bağıntısından bilinen özel trigonometrik değer:
    \tan(22{,}5^\circ) = \sqrt{2} - 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kenar ve Köşegen Uzunluklarını Tanımlama
ABCD karesinin bir kenar uzunluğuna a diyelim:

|AD| = |DC| = a

Köşegen uzunluğu karenin kenarının \sqrt{2} katı olduğundan:

|BD| = a\sqrt{2}

Soruda verilen |BD| = |CG| eşitliğinden:

|CG| = a\sqrt{2}

Adım 2 — Dik Üçgenin Kenarlarını Belirleme
D, C ve G noktaları doğrusal olduğundan ve karenin iç açısı 90^\circ olduğundan:

m(\widehat{ADG}) = 90^\circ

Böylece ADG bir dik üçgendir. Bu dik üçgenin dik kenar uzunlukları:

  • Karşı dik kenar: |AD| = a
  • Komşu dik kenar: |DG| = |DC| + |CG| = a + a\sqrt{2} = a(1 + \sqrt{2})

Adım 3 — x Açısının Değerini Bulma
ADG dik üçgeninde x açısının tanjantını yazalım:

\tan(x) = \frac{|AD|}{|DG|} = \frac{a}{a(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}

Paydayı rasyonel yapmak için (\sqrt{2} - 1) ile çarpalım:

\tan(x) = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1

\tan(22{,}5^\circ) = \sqrt{2} - 1 olduğundan:

x = 22{,}5^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 22,5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Köşegen Özelliği: Karenin köşegenleri birbirine eşit ve kenarın \sqrt{2} katıdır (e = a\sqrt{2}).
  • \mathbf{22{,}5^\circ - 67{,}5^\circ - 90^\circ} Üçgeni: Bu üçgende dik kenarlar arasındaki oran her zaman 1 / (\sqrt{2}+1) yani \sqrt{2}-1’dir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: |CG| = |BD| eşitliğini doğrudan şekil üzerinden tahmin etmeye çalışıp x’i 30^\circ veya 45^\circ gibi yaygın açılara yuvarlamak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Köşegen uzunluğunu (a\sqrt{2}) cebirsel olarak yazıp dik üçgendeki trigonometrik orandan (\tan x = \sqrt{2}-1) yararlanarak kesin sonuca gitmek.

Bu soru tipinde yarım açı formüllerinin geometrik ispatını da incelemek ister misin?