Buna göre m(ACB) kaç derecedir?

YKS TYT
1

ABC 0Çgen, JAE| (EB). BD| 2/CD| = 2CA| ve
m(BDE) 35 dir.
Buna göre m(ACB) kaç derecedir?
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80

ABC 0Çgen, JAE (EB).
ABC 0Çgen, JAE (EB).1024×768 112 KB

2

ABC Üçgeninde m(\widehat{ACB}) Açısının Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  • Üçgende Orta Taban Teoremi: Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası (orta taban), üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu bu kenarın yarısına eşittir:
    [EK] \parallel [AC] \quad \text{ve} \quad |EK| = \frac{|AC|}{2}
  • İkizkenar Üçgen Kuralı: Eşit kenarların karşısındaki taban açıları birbirine eşittir.
  • Dış Açı Teoremi: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
  • Yöndeş Açılar: Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı yöndeş açılar birbirine eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Uzunluk Oranlarını Belirleme
Soruda verilen |BD| = 2|CD| = 2|CA| eşitliğine göre:

  • |CD| = k birim olsun.
  • Buradan |CA| = k birim ve |BD| = 2k birim olur.
  • [BC] kenarının toplam uzunluğu:
    |BC| = |BD| + |CD| = 2k + k = 3k \text{ birim}

Adım 2 — Orta Taban Oluşturma
[BC] kenarının orta noktası K olsun.

  • K orta nokta olduğundan:
    |BK| = |KC| = \frac{3k}{2} = 1{,}5k \text{ birim}
  • E noktası [AB] kenarının orta noktası olduğundan, [EK] doğru parçası ABC üçgeninin orta tabanı olur.
  • Orta taban özelliklerine göre:
    [EK] \parallel [AC] \quad \text{ve} \quad |EK| = \frac{|CA|}{2} = \frac{k}{2} = 0{,}5k \text{ birim}

Adım 3 — |KD| Uzunluğunu Bulma ve İkizkenarlığı Görme
B, K, D, C noktaları aynı doğru üzerindedir.

  • |KD| uzunluğu:
    |KD| = |BD| - |BK| = 2k - 1{,}5k = 0{,}5k \text{ birim}
  • |EK| = 0{,}5k ve |KD| = 0{,}5k olduğundan, EKD üçgeni bir ikizkenar üçgendir (|EK| = |KD|).

Adım 4 — Açı Değerlerini Hesaplama

  • EKD ikizkenar üçgeninde taban açıları eşittir:
    m(\widehat{KDE}) = m(\widehat{BDE}) = 35^\circ \implies m(\widehat{KED}) = 35^\circ
  • EKD üçgeninde K köşesindeki dış açı (m(\widehat{EKB})), komşu olmayan iki iç açının toplamıdır:
    m(\widehat{EKB}) = m(\widehat{KED}) + m(\widehat{KDE}) = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ

Adım 5 — Yöndeş Açılardan m(\widehat{ACB}) Değerini Bulma

  • [EK] \parallel [AC] olduğundan, \widehat{EKB} açısı ile \widehat{ACB} açısı yöndeş açılardır:
    m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{EKB}) = 70^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 70
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Üçgende Orta Taban (Mid-segment)

  • Tanım: Üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.
  • Bu problemde: E ve K orta noktaları birleştirilerek hem AC’ye paralel bir doğru elde edilmiş hem de uzunluğu \frac{|AC|}{2} olarak hesaplanmıştır.

2. İkizkenar Üçgen ve Dış Açı Özelliği

  • Tanım: İki kenarı eşit olan üçgenin taban açıları da eşittir; iki iç açının toplamı komşu olmayan bir dış açıya eşittir.
  • Bu problemde: |EK| = |KD| = 0{,}5k eşitliğiyle 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ dış açısı bulunmuştur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: D Noktasını Orta Nokta Kabul Etmek

  • Yanlış: Şekle bakarak D noktasını doğrudan orta tabanın ayağı sanmak.
  • Doğru: Verilen oranları (|BD| = 2k, |CD| = k) kullanarak gerçek orta noktayı (K) belirlemek.
  • Neden yanlış: D noktası kenarı 2:1 oranında böler, orta nokta (1{,}5k) değildir.

Benzer bir geometri sorusu çözerek bu orta taban yöntemini pekiştirmek ister misin?

3

@Zeynep_Karakas1 görsel olarak paylaşırmısın

4

ABC Üçgeninde Orta Taban Çizimi ve Görsel Çözüm

Sorunun geometrik mantığını ve ek çizimi (orta taban) daha rahat görebilmen için şekil üzerindeki tüm adımları şematize edelim:

:triangular_ruler: Geometrik Çizim Şeması

                     A
                    / \
                   /   \
                  /     \  |AC| = k
              E  /       \
                / \       \
               /   \       \
              /  35°\       \
             /       \       \
            B----K----D-------C
                 \___/ \_____/
                 0.5k     k
            \________/
               1.5k

:magnifying_glass_tilted_left: Şekil Üzerindeki Ek Çizim ve Değerler

                     A
                    / \
                   /   \
           |BE|=|EA|  /     \  |AC| = k
                 /       \
              E /---------\ [EK] // [AC]  =>  |EK| = 0.5k
               / \ 35°   / \
              /   \     /   \
             / 35° \ 70°     \ 70°
            B-------K----D----C
            |--1.5k-|0.5k|--k-|
            |------- 2k -|
            |------- 3k ------|

:brain: Görsel Adım Adım İnceleme

1. Verilen Uzunlukların Yerleştirilmesi:

  • |CD| = k ve |CA| = k
  • |BD| = 2k
  • Tabanın toplam boyu: |BC| = |BD| + |CD| = 2k + k = 3k

2. Orta Nokta K’nın Belirlenmesi ve [EK] Doğrusunun Çizilmesi:

  • [BC] kenarının tam orta noktasına K diyelim.
  • Orta nokta olduğu için |BK| = 1{,}5k ve |KC| = 1{,}5k olur.
  • D noktası B’den 2k uzaklıkta olduğundan, K ile D arası:
    |KD| = 2k - 1{,}5k = 0{,}5k

3. Orta Taban Uzunluğu:

  • E ve K orta noktalar olduğundan [EK], ABC üçgeninin orta tabanıdır.
  • [EK] \parallel [AC] ve |EK| = \frac{|AC|}{2} = \frac{k}{2} = 0{,}5k olur.

4. EKD İkizkenar Üçgeni:

  • |EK| = 0{,}5k
  • |KD| = 0{,}5k
  • İki kenar eşit olduğundan taban açıları eşittir:
    m(\widehat{KDE}) = 35^\circ \implies m(\widehat{KED}) = 35^\circ

5. Dış Açı ve Yöndeş Açı:

  • EKD üçgeninde K köşesindeki dış açı:
    m(\widehat{EKB}) = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ
  • [EK] \parallel [AC] olduğu için \widehat{EKB} açısı ile \widehat{ACB} açısı yöndeştir:
    m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{EKB}) = 70^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: SONUÇ: m(\widehat{ACB}) = 70^\circ (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Orta taban mantığının geometride başka hangi soru tiplerinde kullanıldığını görmek ister misin?