Şekil 1’de verilen yerden yüksekliği 1 metre, uzunluğu 2\sqrt{3} metre olan yere paralel açılır-kapanır bariyerin ucu, bariyer Şekil 2’deki gibi açıldığında yerden en fazla 4 metre yükseklikte olabilmektedir.
Buna göre; kalınlığı önemsiz bariyer, yukarı doğru en fazla kaç derecelik açı ile açılabilir?
A) 75
B) 45
C) 67,5
D) 30
E) 60
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Bariyer Açısı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dik üçgende bir dar açının sinüsü, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına eşittir (\sin\theta = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}}).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Düşey Yükselme Miktarının Belirlenmesi
Bariyerin dönme ekseni (menteşesi) Şekil 1’de görüldüğü üzere yerden 1\text{ m} yüksekliktedir. Bariyer açıldığında en uç noktasının yerden toplam yüksekliği 4\text{ m} olduğuna göre, dönme ekseninden itibaren oluşan düşey yükseklik (h) hesaplanır:
h = 4 - 1 = 3\text{ m}
Adım 2 — Bariyerin Yatayla Yaptığı Açının Hesaplanması
Bariyerin boyu 2\sqrt{3}\text{ m} olup bu değer dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu oluşturur. Bariyerin yatayla yaptığı açıyı \theta kabul edersek sinüs tanımından:
\sin\theta = \frac{h}{\text{Hipotenüs}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Sinüs değeri \frac{\sqrt{3}}{2} olan dar açı 60^\circ olduğundan bariyer yukarı doğru en fazla 60^\circ açılabilir.
CEVAP: E) 60 (\theta = 60^\circ)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bariyerin menteşe yüksekliği (1\text{ m}) hesaba katılmadan doğrudan \frac{4}{2\sqrt{3}} oranı alınmaya çalışılırsa hipotenüsten büyük bir karşı kenar elde edilir ve hata yapılır; daima başlangıçtaki taban yüksekliğini toplam yükseklikten çıkarmayı unutmayınız.