ABC eşkenar üçgen, |BE| = |CD|, m(widehat{ADE}) = 35^\circ ve m(widehat{BAE}) = \alpha’dir.
Buna göre, \alpha kaç derecedir?
Eşkenar Üçgende Kosinüs Teoremi ve İkizkenarlık Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenar Kosinüs Teoremi (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta) ile hesaplanır. İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları birbirine eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kenar Uzunluklarının Tanımlanması
ABC eşkenar üçgen olduğundan |AB| = |BC| = |AC| = s ve iç açıları 60^\circ’dir. Verilen |BE| = |CD| = x eşitliği kullanılırsa, [BC] kenarı üzerindeki |EC| = s - x olur. A, C, D noktaları doğrusal olduğundan \widehat{ACB} ile \widehat{ECD} bütünlerdir:
m(\widehat{ECD}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
Adım 2 — AE ve ED Uzunluklarının Kosinüs Teoremi ile Karşılaştırılması
ABE üçgeninde m(\widehat{B}) = 60^\circ açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanırsa:
|AE|^2 = s^2 + x^2 - 2sx \cos(60^\circ) = s^2 + x^2 - sx
ECD üçgeninde m(\widehat{ECD}) = 120^\circ açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanırsa:
|ED|^2 = (s-x)^2 + x^2 - 2(s-x)x \cos(120^\circ)
\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \implies |ED|^2 = (s^2 - 2sx + x^2) + x^2 + sx - x^2 = s^2 + x^2 - sx
Buradan |AE|^2 = |ED|^2 elde edilir, yani |AE| = |ED| olup AED üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
Adım 3 — Açıların Hesaplanması ve \alpha Değerinin Bulunması
AED ikizkenar üçgeninde eşit kenarları gören taban açıları eşittir:
m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{ADE}) = 35^\circ
A, C, D noktaları doğrusal olduğu için m(\widehat{EAC}) = m(\widehat{EAD}) = 35^\circ’dir. ABC üçgeninin tepe açısı m(\widehat{BAC}) = 60^\circ olduğundan:
\alpha + m(\widehat{EAC}) = 60^\circ \implies \alpha + 35^\circ = 60^\circ \implies \alpha = 25^\circ
CEVAP: 25^\circ (\alpha = 25^\circ)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Eşkenar üçgen sorularında dışa doğru yapılan eşit uzatmalarda (|BE| = |CD|) oluşan 60^\circ ve 120^\circ’lik üçgenlerin üçüncü kenarları Kosinüs Teoremi gereği daima birbirine eşit çıkar. Bu ikizkenarlık gizli açı eşitliklerini doğrudan ortaya çıkarır.
@Akademik_Rehber cos teoremi olmadan çöz
Geometrik Eşlik (K.A.K.) Yöntemiyle Çözüm
Kosinüs teoremi kullanmadan, [AC] kenarı üzerinde bir yardımcı doğru çizerek Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) eşliği oluşturalım:
1. Yardımcı Eşkenar Üçgenin Oluşturulması:
- ABC eşkenar üçgeninin bir kenar uzunluğuna s diyelim: |AB| = |BC| = |AC| = s ve tüm iç açıları 60^\circ’dir.
- |BE| = |CD| = x olarak verildiğinden, |EC| = s - x olur.
- E noktasından [AB] kenarına paralel olacak şekilde [AC] kenarına bir doğru parçası çizip kestiği noktaya K diyelim (EK \parallel AB).
- EK \parallel AB olduğundan m(\widehat{EKC}) = m(\widehat{A}) = 60^\circ olur. m(\widehat{C}) = 60^\circ olduğundan EKC üçgeni de bir eşkenar üçgen olur:|EK| = |KC| = |EC| = s - x
2. Kenar Uzunlukları ve Açıların Belirlenmesi:
- |AC| = s ve |KC| = s - x olduğundan:|AK| = |AC| - |KC| = s - (s - x) = x
- [AC] doğrusu üzerinde m(\widehat{EKC}) = 60^\circ olduğundan bütünleri:m(\widehat{AKE}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
- Aynı şekilde A, C, D noktaları doğrusal olduğundan:m(\widehat{ECD}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
3. Üçgenlerin Eşliği (\triangle AKE \cong \triangle CDE):
Şimdi AKE ve CDE üçgenlerini karşılaştıralım:
- |AK| = |CD| = x
- m(\widehat{AKE}) = m(\widehat{ECD}) = 120^\circ
- |KE| = |CE| = s - x
İkişer kenarları ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit olduğundan Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Teoremi gereğince:
\triangle AKE \cong \triangle CDE
Bu eşlikten dolayı üçüncü kenarlar da birbirine eşit olmak zorundadır:
|AE| = |ED|
4. \alpha Açısının Hesaplanması:
- |AE| = |ED| olduğundan AED üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
- Taban açıları birbirine eşittir:m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{ADE}) = 35^\circ
- A, C, D doğrusal olduğundan m(\widehat{EAC}) = m(\widehat{EAD}) = 35^\circ’dir.
- ABC eşkenar üçgeninin A köşesindeki açısı 60^\circ olduğuna göre:\alpha + 35^\circ = 60^\circ \implies \alpha = 25^\circ
@Akademik_Rehber eşlik benzerlik olmadan özel üçgenlerle çöz
30°-60°-90° Özel Üçgenleri ve Pisagor Bağıntısı ile Çözüm
Eşlik veya benzerlik kullanmadan, yalnızca 30^\circ-60^\circ-90^\circ özel dik üçgeni ve Pisagor teoremi yardımıyla çözümü adım adım yapalım:
1. Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
- ABC eşkenar üçgeninin bir kenar uzunluğuna s diyelim:|AB| = |BC| = |AC| = s
- Verilen |BE| = |CD| = x eşitliğine göre:|EC| = s - x
2. AE Uzunluğunun Hesaplanması (AHE Dik Üçgeni)
A noktasından [BC] kenarına bir yükseklik indirelim ve tabanı kestiği noktaya H diyelim (AH \perp BC):
- ABH üçgeni bir 30^\circ-60^\circ-90^\circ özel dik üçgeni olur.
- Hipotenüs |AB| = s olduğundan:|BH| = \frac{s}{2} \quad \text{ve} \quad |AH| = \frac{s\sqrt{3}}{2}
- E noktası [BC] üzerinde olduğundan:|HE| = |BH| - |BE| = \frac{s}{2} - x
- AHE dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayalım:|AE|^2 = |AH|^2 + |HE|^2|AE|^2 = \left(\frac{s\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{s}{2} - x\right)^2 = \frac{3s^2}{4} + \left(\frac{s^2}{4} - sx + x^2\right)|AE|^2 = s^2 - sx + x^2
3. ED Uzunluğunun Hesaplanması (DPE Dik Üçgeni)
[BC] doğrusunu C yönünde uzatalım ve D noktasından bu uzantıya dik bir doğru indirip ayağına P diyelim (DP \perp BC uzantısı):
- A, C, D noktaları doğrusal ve m(\widehat{ACB}) = 60^\circ olduğundan, [BC] uzantısı ile oluşan dış açı m(\widehat{PCD}) = 60^\circ olur.
- Böylece DPC üçgeni de bir 30^\circ-60^\circ-90^\circ özel dik üçgeni olur:
- Hipotenüs |CD| = x
- 30^\circ’nin karşısındaki kenar: |CP| = \frac{x}{2}
- 60^\circ’nin karşısındaki kenar: |DP| = \frac{x\sqrt{3}}{2}
- E, C, P noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan taban uzunluğu:|EP| = |EC| + |CP| = (s - x) + \frac{x}{2} = s - \frac{x}{2}
- DPE dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayalım:|ED|^2 = |DP|^2 + |EP|^2|ED|^2 = \left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(s - \frac{x}{2}\right)^2 = \frac{3x^2}{4} + \left(s^2 - sx + \frac{x^2}{4}\right)|ED|^2 = s^2 - sx + x^2
4. İkizkenarlık ve \alpha Açısı
İki Pisagor sonucunu karşılaştırdığımızda:
|AE|^2 = |ED|^2 \implies |AE| = |ED|
- |AE| = |ED| olduğundan AED üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
- Taban açıları eşit olmalıdır:m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{ADE}) = 35^\circ
- A, C, D noktaları doğrusal olduğundan m(\widehat{EAC}) = 35^\circ’dir.
- ABC eşkenar üçgeninin tepe açısı 60^\circ olduğundan:\alpha + 35^\circ = 60^\circ \implies \alpha = 25^\circ