Yukarıda verilen kapı numaralarının asal çarpanları aynıdır ve bu numaralar küçükten büyüğe doğru sıralanmıştır.
Buna göre \frac{boldsymbol{Delta} \cdot boldsymbol{square}}{boldsymbol{\star}} işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 18
B) 24
C) 36
D) 48
Asal Çarpanlar ve Sayı Dizilimi Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir pozitif tam sayının asal çarpanları belirlenirken asal çarpan algoritmasından yararlanılır. Yalnızca belirli asal çarpanlara sahip sayılar 2^a \cdot 3^b (a, b \ge 1) formunda yazılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kapı Numaralarının Asal Çarpanlarını Belirleme
İlk kapı numarası 18 = 2 \cdot 3^2 ve son kapı numarası 54 = 2 \cdot 3^3 olup, her iki sayının asal çarpanları yalnızca 2 ve 3’tür. Soruda tüm kapı numaralarının asal çarpanlarının aynı olduğu belirtildiğinden, aradaki tüm numaralar da sadece 2 ve 3 asal çarpanlarına sahip (a \ge 1 ve b \ge 1 olmak üzere 2^a \cdot 3^b biçiminde) olmalıdır.
Adım 2 — 18 ile 54 Arasındaki Sayıları Bulma ve Sıralama
Kapı numaraları küçükten büyüğe doğru 18 < \blacktriangle < \blacksquare < \bigstar < 54 şeklinde sıralanmıştır. Bu aralıkta asal çarpanları yalnızca 2 ve 3 olan tam sayıları inceleyelim:
- 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24
- 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36
- 2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48
Bu aralıkta tam olarak üç sayı bulunmaktadır. Dolayısıyla sembollerin değerleri sırasıyla:
\blacktriangle = 24, \quad \blacksquare = 36, \quad \bigstar = 48
Adım 3 — İstenen İşlemi Hesaplama
Bulunan değerleri \frac{\blacktriangle \cdot \blacksquare}{\bigstar} ifadesinde yerine yazalım:
\frac{24 \cdot 36}{48} = \frac{1 \cdot 36}{2} = 18
CEVAP: A) 18 (\frac{24 \cdot 36}{48} = 18)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: “Asal çarpanları aynıdır” şartı, sayının 2 ve 3 dışında hiçbir asal çarpana sahip olamayacağını (örneğin 5 veya 7 çarpanı barındıramaz) ve her ikisini de en az birer kez bulundurmak zorunda olduğunu gösterir. Çarpma işlemini yapmadan önce 24 ile 48’i sadeleştirmek zaman kazandırır.