İki basamaklı iki doğal sayı çarpılmak istendiğinde bu sayılar yerine sayıların en büyük asal çarpanları alınarak yapılan işleme “farklı çarpım” denir.
Örneğin;
91 \times 80 = 13 \times 5 = 65
64 \times 27 = 2 \times 3 = 6
şeklindedir.
Buna göre iki basamaklı ab ve ba sayılarının “farklı çarpımı”
ab \times ba = 21
olduğuna göre a + b toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 4
B) 2
C) 3
D) 1
E) 5
İki Basamaklı ab ve ba Sayılarının Farklı Çarpımı Problemi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir sayının “farklı çarpımı”, o sayının en büyük asal çarpanı kullanılarak hesaplanır.
- İki basamaklı ab ve ba sayılarının en büyük asal çarpanları sırasıyla P(ab) ve P(ba) olsun.
- P(ab) \times P(ba) = 21
- 21’in asal çarpanları yalnızca 3 ve 7 olduğundan, sayılardan birinin en büyük asal çarpanı 3, diğerinin en büyük asal çarpanı ise 7 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — En Büyük Asal Çarpanı 3 Olan İki Basamaklı Sayıları Belirleme
Bir sayının en büyük asal çarpanının 3 olması için asal çarpanlarının yalnızca 2 ve 3 olması ve en az bir tane 3 çarpanı içermesi gerekir (2^x \cdot 3^y, y \ge 1).
Bu koşulu sağlayan iki basamaklı sayılar:
- 3^1 \cdot 2^2 = 12
- 3^1 \cdot 2^3 = 24
- 3^1 \cdot 2^4 = 48
- 3^1 \cdot 2^5 = 96
- 3^2 \cdot 2^1 = 18
- 3^2 \cdot 2^2 = 36
- 3^2 \cdot 2^3 = 72
- 3^3 \cdot 2^0 = 27
- 3^3 \cdot 2^1 = 54
- 3^4 \cdot 2^0 = 81
Adım 2 — Sayıların Terslerinin (ba) En Büyük Asal Çarpanının 7 Olup Olmadığını Kontrol Etme
ab sayılarının basamakları yer değiştirilerek elde edilen ba sayılarının asal çarpanlarını inceleyelim:
- ab = 12 \implies ba = 21 = 3 \times 7 (En büyük asal çarpan: 7
) \rightarrow a+b = 1+2 = 3 - ab = 18 \implies ba = 81 = 3^4 (En büyük asal çarpan: 3 \neq 7
) - ab = 24 \implies ba = 42 = 2 \times 3 \times 7 (En büyük asal çarpan: 7 ) \rightarrow a+b = 2+4 = 6
- ab = 27 \implies ba = 72 = 2^3 \times 3^2 (En büyük asal çarpan: 3 \neq 7 )
- ab = 36 \implies ba = 63 = 3^2 \times 7 (En büyük asal çarpan: 7 ) \rightarrow a+b = 3+6 = 9
- ab = 48 \implies ba = 84 = 2^2 \times 3 \times 7 (En büyük asal çarpan: 7 ) \rightarrow a+b = 4+8 = 12
- ab = 54 \implies ba = 45 = 3^2 \times 5 (En büyük asal çarpan: 5 \neq 7 )
- ab = 72 \implies ba = 27 (En büyük asal çarpan: 3 \neq 7 )
- ab = 81 \implies ba = 18 (En büyük asal çarpan: 3 \neq 7 )
- ab = 96 \implies ba = 69 = 3 \times 23 (En büyük asal çarpan: 23 \neq 7 )
Adım 3 — a + b Toplamının Alabileceği Farklı Değerleri Bulma
Koşulu sağlayan (ab, ba) ikilileri ve a+b değerleri:
- (12, 21) \implies a+b = 3
- (24, 42) \implies a+b = 6
- (36, 63) \implies a+b = 9
- (48, 84) \implies a+b = 12
Elde edilen farklı a+b değerleri kümesi: \{3, 6, 9, 12\} olup toplam 4 farklı değer vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir doğal sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımı biçiminde yazma işlemidir.
- Bu problemde: 21 sayısının çarpanları 3 ve 7 olduğundan, sayılardan birinin asal çarpanlar kümesinin en büyük elemanı 3, diğerininki 7 olarak seçilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Basamak Değerlerini Çarpmak veya Normal Çarpım Yapmak
- Yanlış: ab \cdot ba = 21 şeklinde denklem kurup cebirsel çözüm aramaya çalışmak.
- Doğru: Soruda özel tanımlanan “farklı çarpım” kuralına göre hareket ederek doğrudan en büyük asal çarpanları eşleştirmek.
- Neden yanlış: Soru standart bir çarpma işlemi değil, probleme özel tanımlı fonksiyonel bir kural içermektedir.
Bu tarz yeni nesil asal çarpan sorularını pekiştirmek için benzer bir örnek soru daha çözmemi ister misin?