Taban yarıçapları eşit ve yükseklikleri 18 birim olan iki tahıl silosundan I numaralı silo dik dairesel silindir biçimindedir. II numaralı silonun üst bölümü dik dairesel silindir, alt bölümü ise aynı taban yarıçapına sahip ters dik dairesel konidir.
Buna göre II numaralı silonun silindir biçimindeki bölümünün hacmi, koni biçimindeki bölümünün hacminin kaç katıdır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Silindir ve Koni Hacim Bağıntıları ile Katı Cisim Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir dik dairesel silindirin hacmi V_{\text{silindir}} = \pi r^2 h, aynı taban ve yüksekliğe sahip dik dairesel koninin hacmi ise V_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h formülüyle hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Siloların Boyutlarının ve Hacim Denklemlerinin Tanımlanması
Her iki silonun da taban yarıçapı r ve toplam yüksekliği 18 birimdir. II numaralı silodaki silindir kısmın yüksekliğine h_1, koni kısmın yüksekliğine h_2 dersek:
h_1 + h_2 = 18
I numaralı silonun hacmi:
V_1 = \pi r^2 \cdot 18
II numaralı silonun toplam hacmi ise üstteki silindir ile alttaki koninin hacimleri toplamıdır:
V_2 = \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \pi r^2 \left(h_1 + \frac{h_2}{3}\right)
Adım 2 — Verilen Orandan Yüksekliklerin Bulunması
II numaralı silonun hacminin I numaralı silonun hacmine oranı \frac{7}{9} olarak verilmiştir:
V_2 = \frac{7}{9} V_1 \implies \pi r^2 \left(h_1 + \frac{h_2}{3}\right) = \frac{7}{9} \cdot (\pi r^2 \cdot 18) = 14\pi r^2
Buradan taban alanları sadeleştirildiğinde:
h_1 + \frac{h_2}{3} = 14
Taraf tarafa çıkarma işlemi yapılarak koni ve silindirin yükseklikleri bulunur:
(h_1 + h_2) - \left(h_1 + \frac{h_2}{3}\right) = 18 - 14 \implies \frac{2h_2}{3} = 4 \implies h_2 = 6 \text{ birim}
h_1 = 18 - 6 = 12 \text{ birim}
Adım 3 — İstenen Hacim Oranının Hesaplanması
II numaralı silonun silindir bölümünün hacminin koni bölümünün hacmine oranı:
\frac{V_{\text{silindir}}}{V_{\text{koni}}} = \frac{\pi r^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r^2 h_2} = \frac{3 \cdot h_1}{h_2} = \frac{3 \cdot 12}{6} = 6
CEVAP: D) 6 \left(\frac{V_{\text{silindir}}}{V_{\text{koni}}} = 6\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Taban yarıçapları eşit silindir ve konilerde koninin hacmi, aynı yükseklikteki silindirin üçte biridir. Bu tür sorularda ortak çarpan olan \pi r^2 terimini en başta sadeleştirmek denklem çözümünü hızlandırır.