Buna göre, ifadesini tam sayi yapan iki basamaklı kaç tane k doğal sayısı vardır?

YKS TYT
1
  1. a veb pozitif tam sayılar olmak üzere,
    şeklinde tanımlaniyor.
    Buna göre,
    ifadesini tam sayi yapan iki basamaklı kaç tane k doğal
    sayısı vardır?
    A) 3
    B) 4
    c)5
    D) 6
    E)7

a veb pozitif tam sayılar olmak üzere, şeklinde tanımlaniyor.
a veb pozitif tam sayılar olmak üzere, şeklinde tanımlaniyor.1024×768 119 KB

2

İfadesini Tam Sayı Yapan İki Basamaklı k Doğal Sayılarının Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Tanımlanan sembolik kural: \text{Kutu}(a, b) = \frac{a+2}{b}
  • Kesirlerde toplama işlemi: \frac{A}{x} + \frac{A}{y} = A \cdot \left(\frac{x+y}{x \cdot y}\right)
  • Tam sayı olma şartı: Bir \frac{11(k+2)}{24} ifadesinin tam sayı olabilmesi için \text{EBOB}(11, 24) = 1 olduğundan, 24 sayısının (k+2) ifadesini tam bölmesi gerekir (k+2 = 24m, \, m \in \mathbb{Z}^+).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen sembolik ifadeleri cebirsel olarak yazma
Kurala göre sol üstteki sayı paya 2 eklenerek yazılır, sağ alttaki sayı paydaya yazılır:

\text{Sol Kutu} = \frac{k+2}{3}
\text{Sağ Kutu} = \frac{k+2}{8}

Adım 2 — İki ifadenin toplamını tek bir kesir haline getirme
Payları ortak çarpan parantezine alarak paydaları 24’te eşitleyelim:

\frac{k+2}{3} + \frac{k+2}{8} = (k+2)\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{8}\right)
(k+2)\left(\frac{8 + 3}{24}\right) = \frac{11(k+2)}{24}

Adım 3 — Tam sayı olma koşulunu belirleme
\frac{11(k+2)}{24} sonucunun bir tam sayı olması için 11 \cdot (k+2) çarpımı 24’ün tam katı olmalıdır. 11 ile 24 aralarında asal olduğundan, (k+2) ifadesi 24’ün katı olmalıdır:

k + 2 = 24 \cdot m \quad (m \in \mathbb{Z}^+)
k = 24m - 2

Adım 4 — İki basamaklı k doğal sayılarını bulma
k sayısının iki basamaklı olması istendiğinden 10 \le k \le 99 aralığını sağlamalıdır:

10 \le 24m - 2 \le 99
12 \le 24m \le 101

Bu eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı m değerleri:

  • m = 1 \implies k = 24(1) - 2 = 22
  • m = 2 \implies k = 24(2) - 2 = 46
  • m = 3 \implies k = 24(3) - 2 = 70
  • m = 4 \implies k = 24(4) - 2 = 94

Bu koşulu sağlayan 4 farklı k değeri (22, 46, 70, 94) bulunur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Bölünebilme ve Aralarında Asallık

  • Tanım: \text{EBOB}(x, y) = 1 ise x \cdot A sayısının y’ye tam bölünebilmesi için y’nin doğrudan A’yı tam bölmesi gerekir.
  • Bu problemde: 11 ile 24 aralarında asal olduğu için 24 sayısı doğrudan (k+2)'yi tam bölmek zorundadır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sadece k’nın 24’ün katı olduğunu varsaymak

  • Yanlış: k = 24, 48, 72, 96 değerlerini almak.
  • Doğru: İfade k değil (k+2) olduğu için k = 24m - 2 formülü kullanılmalıdır.
  • Neden yanlış: Pay kısmında k değil, (k+2) çarpanı bulunmaktadır.

Bu soru tipinde temel kavramları pekiştirmek için benzer bir modelleme sorusu çözmemi ister misin?