- a, b ve c birbirinden farklı birer ift sayıdır.
Buna göre,
ab•C
ifadelerinden hangileri kesinlikle çifttir?
A) YalnızI
B) I ve ll
D) Il ve ll
E) 1, Il ve ll
c) I ve ll
a, b ve c Farklı Çift Sayılar Olmak Üzere Kesinlikle Çift Olan İfadeler
KULLANILAN TEMEL KAVRAMLAR:
Bir sayının çift sayı olması, o sayının 2k (k \in \mathbb{Z}) şeklinde yazılabildiği anlamına gelir. Soruda a, b ve c birbirinden farklı çift sayılar olarak verilmiştir. Bu durumda:
- a = 2x
- b = 2y
- c = 2z
şeklinde ifade edilebilir (x, y, z tam sayılardır ve birbirlerinden farklıdır).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenleri Formülize Etme
a, b ve c çift sayılar olduğu için çarpımları a \cdot b \cdot c = (2x) \cdot (2y) \cdot (2z) = 8 \cdot (x \cdot y \cdot z) şeklindedir. Toplamları ise a+b+c = 2x+2y+2z = 2(x+y+z) olur.
Adım 2 — Birinci İfadenin Analizi (\frac{a \cdot b \cdot c}{4})
\frac{8 \cdot x \cdot y \cdot z}{4} = 2 \cdot (x \cdot y \cdot z) elde edilir.
Bir tam sayının 2 ile çarpımı daima çift bir sonuç verir. Bu nedenle I. ifade kesinlikle çifttir.
Adım 3 — İkinci İfadenin Analizi (\frac{a \cdot b \cdot c}{8})
\frac{8 \cdot x \cdot y \cdot z}{8} = x \cdot y \cdot z elde edilir.
Burada x, y ve z sayılarının tek mi yoksa çift mi olduğunu bilmiyoruz.
Örnek: a=2, b=4, c=6 seçersek; x=1, y=2, z=3 olur. 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 (Çift).
Örnek: a=2, b=6, c=10 seçersek; x=1, y=3, z=5 olur. 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15 (Tek).
Sonuç tek çıkabildiği için II. ifade kesinlikle çift değildir.
Adım 4 — Üçüncü İfadenin Analizi (\frac{a + b + c}{2})
\frac{2(x + y + z)}{2} = x + y + z elde edilir.
Burada da x, y ve z tam sayılarının toplamının karakteri bilinmemektedir.
Örnek: a=2, b=4, c=6 için x=1, y=2, z=3 \rightarrow 1+2+3=6 (Çift).
Örnek: a=2, b=4, c=8 için x=1, y=2, z=4 \rightarrow 1+2+4=7 (Tek).
Sonuç tek çıkabildiği için III. ifade kesinlikle çift değildir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) Yalnız I
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çift Sayılar
- Tanım: 2 ile tam bölünebilen tam sayılardır.
- Bu problemde: a, b, c sayıları en az bir tane 2 çarpanı barındırır. Çarpımları en az 2^3 = 8 çarpanı barındırırken, toplamları sadece 2 parantezine alınabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Her çift sayıyı 2’nin katı gibi düşünmemek
- Yanlış: Sadece a \cdot b \cdot c çift olduğu için her bölme işleminin çift çıkacağını varsaymak.
- Doğru: Paydadaki sayı, paydaki tüm 2 çarpanlarını yok edebilir. Kalan sonucun tekrar 2 çarpanı içerip içermediği kontrol edilmelidir.
- Neden yanlış: Sayıların içinde gizli olan tek çarpanlar (x, y, z), bölme sonrası sonucu tek sayıya dönüştürebilir.
Bu konuyu pekiştirmek için, a, b, c ardışık çift sayılar olsaydı sonuçların nasıl değişeceğini incelememi ister misin?