Aşağıdaki Şekil 1’de, kenar uzunlukları 1 cm’den büyük ve santimetre cinsinden doğal sayı olan dikdörtgen biçiminde sarı ve mavi kartonlar verilmiştir. Bu kartonların her ikisinin de santimetre cinsinden kısa kenar uzunlukları, uzun kenar uzunlukları ile aralarında asaldır. Sarı kartonun kısa kenarı, mavi kartonun uzun kenarı ile mavi kartonun kısa kenarı ise sarı kartonun uzun kenarı ile çakışacak biçimde sarı karton, mavi kartonun üzerine konuyor ve Şekil 2’deki görüntü elde ediliyor.
Sarı kartonun bir yüzünün alanı 120cm^2 , mavi kartonun bir yüzünün alanı 144cm^2 dir. Mavi kartonun sarı karton altında kalmayan kısmı I ile, sarı kartonun mavi karton üzerine gelmeyen kısmı II ile gösterilmiştir.
Buna göre I ve II numaralı kısımların santimetre cinsinden çevre uzunlukları farkı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 11
Aralarında Asal Sayılar ve Dikdörtgende Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki pozitif tam sayının 1’den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılar aralarında asaldır. Bir dikdörtgenin alanı A = a \cdot b, çevresi ise \text{Çevre} = 2(a + b) bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Mavi ve Sarı Kartonların Kenar Uzunluklarını Belirleme
Kartonların kenar uzunlukları 1’den büyük doğal sayılardır ve kısa kenarları ile uzun kenarları aralarında asaldır:
- Mavi karton: Alanı 144\text{ cm}^2 olup 144 = 2^4 \cdot 3^2 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. Kenarlar aralarında asal ve 1’den büyük olacağından tek çarpan çifti:m_1 = 9\text{ cm (kısa kenar)}, \quad m_2 = 16\text{ cm (uzun kenar)}
- Sarı karton: Alanı 120\text{ cm}^2 olup 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 şeklindedir. Aralarında asal çarpan çiftleri (3, 40), (5, 24) ve (8, 15) olabilir:s_1 \cdot s_2 = 120 \implies (s_1, s_2) \in \{(3, 40), (5, 24), (8, 15)\}
Adım 2 — Şekil 2’deki I ve II Numaralı Bölgelerin Boyutlarını Modelleme
Sarı kartonun kısa kenarı (s_1) mavinin uzun kenarı (m_2) üzerine; sarının uzun kenarı (s_2) ise mavinin kısa kenarı (m_1) üzerine yerleştirildiğinde:
- I Numaralı Bölge (Açıkta Kalan Mavi Kısım):
- Yatay kenar: m_2 - s_1
- Düşey kenar: m_1
- \text{Çevre(I)} = 2 \cdot [(m_2 - s_1) + m_1]
- II Numaralı Bölge (Açıkta Kalan Sarı Kısım):
- Yatay kenar: s_1
- Düşey kenar: s_2 - m_1
- \text{Çevre(II)} = 2 \cdot [s_1 + (s_2 - m_1)]
Adım 3 — Olası Kenar Değerlerine Göre Çevre Farkını Bulma
- (s_1, s_2) = (8, 15) için:\text{Çevre(I)} = 2 \cdot [(16 - 8) + 9] = 2 \cdot 17 = 34\text{ cm}\text{Çevre(II)} = 2 \cdot [8 + (15 - 9)] = 2 \cdot 14 = 28\text{ cm}\text{Fark} = 34 - 28 = 6\text{ cm}
(Diğer durumlarda fark (3, 40) için 24\text{ cm}, (5, 24) için 0\text{ cm} çıkmaktadır).
CEVAP: C) 6 (Çevreleri farkı 6\text{ cm}'dir)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 144’ün aralarında asal tek çarpan çiftinin 9 ve 16 olduğunu asal çarpanlara ayırma yöntemiyle (2^4 ve 3^2) doğrudan görmek çözümde zaman kazandırır.