Hava sürtünmelerinin önemsenmediği bir ortamda K noktasından serbest bırakılan bir cisim, KL ve LM yollarını, sırasıyla t ve 2t sürede alarak yere çarpıyor.
Buna göre, \frac{h_{KL}}{h_{LM}} oranı kaçtır?
A) \frac{1}{2}
B) \frac{1}{4}
C) \frac{1}{5}
D) \frac{1}{7}
E) \frac{1}{8}
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Hava sürtünmesinin önemsenmediği ortamda serbest düşme hareketi yapan cismin yollarının oranı
KULLANILAN FORMÜL: Serbest düşme hareketinde cismin t sürede aldığı yol h = \frac{1}{2}gt^2 bağıntısı ile hesaplanır. Aynı zamanda serbest bırakılan bir cisim eşit zaman aralıklarında sırasıyla h, 3h, 5h, 7h... (tek sayılar kuralı) kadar yol alır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — KL yolunun alınma süresinin incelenmesi
Cisim K noktasından serbest bırakılır (v_0 = 0).
KL yolunu t sürede aldığı verilmiştir.
Tek sayılar kuralına (h, 3h, 5h, \dots) göre, ilk t sürede alınan yol h_{KL} = h kadardır.
Adım 2 — LM yolunun alınma süresinin incelenmesi
Cisim L noktasından sonra LM yolunu 2t sürede almaktadır.
Toplam hareket süresi t + 2t = 3 süredir.
İlk t sürede h kadar yol alınmıştı. Toplam 3t süre sonunda alınan toplam yol:
h_{toplam} = \frac{1}{2}g(3t)^2 = 9 \left(\frac{1}{2}gt^2\right) = 9h
Adım 3 — LM yolunun uzunluğunun hesaplanması
Toplam yol 9h olduğuna ve ilk h_{KL} = h kısmı KL arasında alındığına göre, LM arası kalan yoldur:
h_{LM} = h_{toplam} - h_{KL} = 9h - h = 8h
(Alternatif olarak tek sayılar kuralıyla: İlk t sürede h, sonraki 2t sürede sırasıyla 3h ve 5h alınır; 3h + 5h = 8h bulunur.)
Adım 4 — Oranın hesaplanması
Bulunan değerler oranlandığında:
\frac{h_{KL}}{h_{LM}} = \frac{h}{8h} = \frac{1}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{1}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Serbest Düşme
- Tanım: Hava direncinin olmadığı ortamda cisimlerin sadece yerçekimi ivmesi etkisiyle düşmesidir.
- Bu problemde: Cismin ilk hızının sıfır olduğu ve zamanla hızlanarak eşit zaman aralıklarında farklı yollar kat ettiği göz önüne alınmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım
- Yanlış: Süreler t ve 2t verildiği için yolların oranını doğrudan \frac{1}{2} veya karesini alıp \frac{1}{4} almak.
- Doğru: LM yolu için geçen 2t sürenin başlangıçtan itibaren toplam süreyi (3t) etkilediği hesaba katılmalıdır.
- Neden yanlış: Cisim L noktasından geçerken hızı sıfır değildir; dolayısıyla LM yolunu alırken ivmeli hareketine devam eder ve hızlanarak yol alır.
Bu konuyu pekiştirmek için atış hareketleriyle ilgili benzer bir soru çözmemi ister misin?
Hava sürtünmelerinin önemsenmediği serbest düşme hareketi ve h_{KL} / h_{LM} oranı
KULLANILAN FORMÜL: Serbest düşme hareketinde cismin t sürede aldığı yol h = \frac{1}{2}gt^2 bağıntısı ile hesaplanır. Sabit ivmeli hareketlerde eşit zaman aralıklarında alınan yollar h, 3h, 5h, 7h… şeklinde ardışık tek sayılar oranında artar.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — KL yolunun alınma süresinin ve yüksekliğinin incelenmesi
Cisim K noktasından serbest bırakılır (v_0 = 0). KL yolunu t sürede almaktadır.
Formülü uygularsak:
h_{KL} = \frac{1}{2}gt^2
Bu değere h diyelim:
h_{KL} = 1h
Adım 2 — Toplam sürenin ve KM toplam yüksekliğinin hesaplanması
Cisim K’den M’ye toplam t + 2t = 33t sürede ulaşır.
K’den M’ye kadar olan toplam yükseklik (h_{KM} = h_{KL} + h_{LM}):
h_{KM} = \frac{1}{2}g(3t)^2 = \frac{1}{2}g(9t^2) = 9 \left(\frac{1}{2}gt^2\right)
Buradan toplam yükseklik 9h olarak bulunur.
Adım 3 — LM yolunun yüksekliğinin hesaplanması
Toplam yükseklikten KL yolunu çıkardığımızda LM yolunu buluruz:
h_{LM} = h_{KM} - h_{KL}
h_{LM} = 9h - 1h = 8h
Adım 4 — Oranın hesaplanması
Bulduğumuz değerleri oranlayalım:
\frac{h_{KL}}{h_{LM}} = \frac{1h}{8h} = \frac{1}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{1}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Serbest Düşme
- Tanım: Hava direncinin olmadığı ortamda cisimlerin sadece yerçekimi ivmesi etkisiyle düşmesidir.
- Bu problemde: İlk hız sıfırdır ve cisim her saniye hızlanarak eşit zaman aralıklarında farklı oranlarda yollar almıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım
- Yanlış: Süreler t ve 2t verildiği için yolların da doğrudan 1 ve 2 oranında (\frac{1}{2}) paylaştırılması.
- Doğru: Alınan yol süreye değil, sürenin karesine (t^2) bağlıdır. Toplam süre üzerinden işlem yapılmalıdır.
- Neden yanlış: Cisim hızlanan hareket yaptığı için her geçen saniyede aldığı yol katlanarak artar.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir serbest düşme sorusu çözmemi ister misin?