A)
B) 1
C)
3
D)
E) 4
Buna göre GBD
üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
B
g0
m(ÃCB) = 30°, |AC|=6 birim, |BD| = 4 birimdir.
5
Aşağıdaki ABC
üçgeninin ağırlık merkezi G
noktasıdır.
Üçgende Ağırlık Merkezi ve Alan Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir köşenin kenara olan dik uzaklığı: h_A = |AC| \cdot \sin(\widehat{C})
- Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı: h_G = \dfrac{h_A}{3}
- Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \dfrac{\text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Köşesinin [BC] Kenarına Uzaklığını Bulma
A noktasından [BC] doğrusuna indirilen dikmenin ayağı H olsun. ACH dik üçgeninde m(\widehat{C}) = 30^\circ ve hipotenüs |AC| = 6\text{ birim} olduğundan:
h_A = |AC| \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\text{ birim}
Adım 2 — G Ağırlık Merkezinin [BC] Kenarına Uzaklığını Bulma
G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan, BC kenarına olan dik uzaklığı (h_G), A köşesinin bu kenara olan dik uzaklığının üçte birine eşittir:
h_G = \frac{h_A}{3} = \frac{3}{3} = 1\text{ birim}
Adım 3 — GBD Üçgeninin Alanını Hesaplama
GBD üçgeninde [BD] taban olarak alındığında, bu tabana ait yükseklik ağırlık merkezinin [BC] kenarına olan dik uzaklığı olan h_G’dir.
\text{Alan}(GBD) = \frac{|BD| \cdot h_G}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2\text{ birimkare}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ağırlık Merkezi (G): Kenarortayların kesişim noktası olup, köşeye 2k, kenara k birim uzaklıktadır. Bu oran nedeniyle ağırlık merkezinin bir kenara olan dik uzaklığı, karşı köşenin o kenara olan dik uzaklığının \frac{1}{3}'üne eşittir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Ağırlık merkezinin kenara olan dik uzaklığını kenarortay oranı olan \frac{1}{2} ile çarpmak.- Doğru Yaklaşım: Benzerlikten ötürü tepe noktasından indirilen yüksekliğin \frac{1}{3}'ü alınmalıdır (k / 3k = 1/3).
Ağırlık merkezinin alan parçalama özellikleri ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?