Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x+3) ve (gof)(2x+1) fonksiyonlarının grafikleri dik koordinat düzleminde verilmiştir.
Buna göre, g(x) = 4x olduğuna göre, \frac{4 dot f(-1) + 2f(7)}{f(8) - f(24)} ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
B) \frac{9}{4}
C) \frac{5}{2}
D) 3
E) \frac{7}{2}
Fonksiyon Grafikleri Yardımıyla İfadenin Değerini Bulma
KULLANILAN KURAL VE BİLEŞKE FONKSİYON TANIMLARI:
- Bileşke fonksiyon tanımı: (f \circ g)(x) = f(g(x)) ve (g \circ f)(x) = g(f(x))
- Verilen g(x) = 4x kuralına göre:
- (f \circ g)(x+3) = f(g(x+3)) = f(4(x+3))
- (g \circ f)(2x+1) = g(f(2x+1)) = 4 \cdot f(2x+1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x = -1 için grafik değerlerini okuma ve fonksiyonları açma
-
Mavi grafik: y = (g \circ f)(2x+1) fonksiyonunda x = -1 yazıldığında:
(g \circ f)(2(-1)+1) = (g \circ f)(-1) = g(f(-1)) = 4 \cdot f(-1)Grafikten x = -1 apsisli noktada mavi grafiğin ordinatı 1 olarak verilmiştir:
4 \cdot f(-1) = 1 -
Kırmızı grafik: y = (f \circ g)(x+3) fonksiyonunda x = -1 yazıldığında:
(f \circ g)(-1+3) = (f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(4 \cdot 2) = f(8)Grafikten x = -1 apsisli noktada kırmızı grafiğin ordinatı 2 olarak verilmiştir:
f(8) = 2
Adım 2 — x = 3 için grafik değerlerini okuma ve fonksiyonları açma
-
Mavi grafik: y = (g \circ f)(2x+1) fonksiyonunda x = 3 yazıldığında:
(g \circ f)(2(3)+1) = (g \circ f)(7) = g(f(7)) = 4 \cdot f(7)Grafikten x = 3 apsisli noktada mavi grafiğin ordinatı 2 olarak verilmiştir:
4 \cdot f(7) = 2 \implies 2 \cdot f(7) = 1 -
Kırmızı grafik: y = (f \circ g)(x+3) fonksiyonunda x = 3 yazıldığında:
(f \circ g)(3+3) = (f \circ g)(6) = f(g(6)) = f(4 \cdot 6) = f(24)Grafikten x = 3 apsisli noktada kırmızı grafiğin ordinatı 1 olarak verilmiştir:
f(24) = 1
Adım 3 — Bulunan değerleri istenen kesirde yerine yazma
Bizden istenen ifade:
\frac{4 \cdot f(-1) + 2f(7)}{f(8) - f(24)}
Bulduğumuz değerleri yerine koyalım:
- Pay: 4 \cdot f(-1) + 2f(7) = 1 + 1 = 2
- Payda: f(8) - f(24) = 2 - 1 = 1
İşlemi tamamlayalım:
\frac{2}{1} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (2)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bileşke Fonksiyonun Grafikten Okunması
- Tanım: Bir grafikte y = (f \circ g)(h(x)) şeklinde verilen bağıntılarda önce x değeri yerine yazılır, ardından içteki fonksiyonun çıktısı dıştaki fonksiyona girdi olarak aktarılır.
- Bu problemde: x = -1 ve x = 3 değerleri grafikteki fonksiyonlara yazılarak doğrudan f(8), f(24), 4f(-1) ve 4f(7) terimlerine ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
x değerini doğrudan f’in içine yazmak
- Yanlış: (f \circ g)(x+3) grafiğinde x = -1 görünce f(-1) = 2 kabul etmek.
- Doğru: x = -1 yazıldığında önce g(-1+3) = g(2) = 8 bulunur, dolayısıyla f(8) = 2 elde edilir.
- Neden yanlış: Parantez içindeki öteleme (x+3) ve g(x) fonksiyonunun katsayısı (4x) hesaba katılmadan doğrudan f’in içi bulunamaz.
Bu soru tipinde fonksiyonların öteleme ve bileşke mantığını pekiştirmek için benzer bir grafik sorusu çözmemi ister misin?