Buna göre g(0) kaçtır?

YKS TYT
1
  1. Dik koordinat düzleminde gerçel katsayılı f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri ile y = 4 doğrusununun grafiği aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
    Buna göre g(0) kaçtır?
    A) 9
    B) 10
    C) 11
    D) 12
    E) 13

Dik koordinat düzleminde gerçel katsayılı f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri ile...
Dik koordinat düzleminde gerçel katsayılı f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri ile...800×873 64.6 KB

2

Parabol Grafikleri ve Teğet Doğrusu Yardımıyla g(0) Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  1. y = ax^2 + bx + c parabolünün tepe noktası T(r, k) koordinatları:
    r = -\frac{b}{2a}
    k = f(r)
  2. Bir parabol yatay bir y = k doğrusuna tepe noktasında teğettir.
  3. Fonksiyonun y eksenini kestiği nokta x = 0 yazılarak bulunur: g(0) = b

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(x) Parabolünün Tepe Noktasından a Sabitini Bulma
Grafiğe göre f(x) = -x^2 + 8x + 2a parabolünün tepe noktası y = 4 doğrusu üzerindedir.

Öncelikle tepe noktasının apsisini (r) bulalım:

r = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = \frac{-8}{-2} = 4

Tepe noktasının ordinatı k = 4 olduğuna göre f(4) = 4 olmalıdır:

f(4) = -(4)^2 + 8 \cdot 4 + 2a = 4
-16 + 32 + 2a = 4
16 + 2a = 4
2a = -12 \implies a = -6

Adım 2 — g(x) Parabolünü Düzenleme
Bulunan a = -6 değerini g(x) = x^2 - ax + b fonksiyonunda yerine yazalım:

g(x) = x^2 - (-6)x + b = x^2 + 6x + b

Adım 3 — g(x) Parabolünün Tepe Noktasından b Sabitini Bulma
Grafiğe göre kolları yukarı doğru olan g(x) parabolü de y = 4 doğrusuna tepe noktasında teğettir.

g(x) parabolünün tepe noktasının apsisini (r) bulalım:

r = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3

Tepe noktasının ordinatı k = 4 olduğuna göre g(-3) = 4 olmalıdır:

g(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + b = 4
9 - 18 + b = 4
-9 + b = 4
b = 13

Adım 4 — g(0) Değerini Hesaplama

g(x) = x^2 + 6x + 13
g(0) = 0^2 + 6 \cdot 0 + 13 = 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E şıkkı (13)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Parabolün Tepe Noktası

  • Tanım: Parabolün aldığı en büyük (kollar aşağı ise) ya da en küçük (kollar yukarı ise) değerin koordinatıdır.
  • Bu problemde: y = 4 doğrusu her iki parabolün de yerel ekstremum (tepe) noktalarından geçtiği için ordinat değerleri k = 4 olarak kullanılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: f(x) ve g(x) denklemlerini birbirine eşitlemeye çalışmak

  • Yanlış: Ortak kök aramak veya iki parabolü birbirine eşitlemek çözümü uzatır ya da çıkmaza sokar.
  • Doğru: Her iki eğrinin de y = 4 teğet doğrusunu tepe noktası olarak paylaştığını görüp k=4 eşitliğinden a ve b katsayılarına doğrudan ulaşmak.
  • Neden yanlış: Parabollerin tepe noktaları aynı x hizasında değildir; tek ortak özellikleri aynı y = 4 yatay teğetine sahip olmalarıdır.

Benzer bir parabol ve doğru teğetliği sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?