Buna göre, en büyük üçgenin çevresi en küçük üçgenin çevresinden kaç birim fazladır?

YKS TYT
1

Şekilde verilen şablon cetvelindeki üçgenler eşkenar üçgendir. Soldan sağa doğru her üçgenin bir kenar uzunluğu kendinden önce gelen üçgenin bir kenar uzunluğunun \sqrt{3} katıdır. Ortadaki üçgenin çevresi 9 birimdir.
Buna göre, en büyük üçgenin çevresi en küçük üçgenin çevresinden kaç birim fazladır?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24

Şekilde verilen şablon cetvelindeki üçgenler eşkenar üçgendir.
Şekilde verilen şablon cetvelindeki üçgenler eşkenar üçgendir.1024×768 101 KB

2

Şablon Cetveldeki Eşkenar Üçgenlerin Çevreleri Farkı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir kenarı a olan eşkenar üçgenin çevresi: Ç = 3a
  • Geometrik artış kuralı: Bir kenar uzunluğu k katına çıktığında, çevre uzunluğu da k katına çıkar.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Üçgenlerin Sırasını ve Ortanca Üçgeni Belirleme
Cetvel üzerinde soldan sağa doğru toplam 5 adet eşkenar üçgen bulunmaktadır. Bu durumda ortadaki üçgen 3. üçgendir.

Ç_3 = 9\text{ birim}

Adım 2 — En Küçük Üçgenin (1. Üçgen) Çevresini Bulma
Soldan sağa her adımda kenar uzunluğu \sqrt{3} katına çıktığı için çevre de \sqrt{3} katına çıkar. Dolayısıyla geriye (sağdan sola) doğru gidildiğinde çevre her adımda \sqrt{3}'e bölünür:

Ç_1 = \frac{Ç_3}{(\sqrt{3})^2} = \frac{9}{3} = 3\text{ birim}

Adım 3 — En Büyük Üçgenin (5. Üçgen) Çevresini Bulma
3. üçgenden en büyük olan 5. üçgene ulaşmak için iki kez \sqrt{3} ile çarpılır:

Ç_5 = Ç_3 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27\text{ birim}

Adım 4 — Çevreler Arasındaki Farkı Hesaplama
En büyük üçgenin çevresi ile en küçük üçgenin çevresi arasındaki fark:

\text{Fark} = Ç_5 - Ç_1 = 27 - 3 = 24\text{ birim}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E — 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Benzerlik Oranı ve Çevre İlişkisi: Benzer çokgenlerde kenarlar arasındaki oran (k), çevreler arasındaki orana eşittir. Bu soruda kenarlar \sqrt{3} kat arttığı için çevreler de \sqrt{3} kat artar.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Kenar uzunluğu \sqrt{3} kat artarken çevrenin (\sqrt{3})^2 = 3 kat arttığını düşünmek (alan ile çevreyi karıştırmak).
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Çevre doğrusal bir büyüklük olduğundan kenar ile aynı oranda (\sqrt{3} kat) artar; iki adım ilerlendiğinde ise (\sqrt{3})^2 = 3 katına çıkar.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için bu üçgenlerin alanları oranını inceleyen benzer bir soru çözmek ister misin?