84 kg ve 112 kg ağırlığındaki iki farklı cins nohut birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükteki torbalara doldurulacaktır.
Buna göre en az kaç torbaya ihtiyaç vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
84 kg ve 112 kg Nohut İçin En Az Torba Sayısının Hesaplanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Büyük parçaları eşit büyüklükte küçük parçalara ayırma (bütünden parçaya gitme) problemlerinde EBOB (En Büyük Ortak Bölen) kullanılır. Torba sayısının en az olması için, her bir torbanın alacağı ağırlığın en fazla olması gerekir.
\text{Bir torbanın ağırlığı} = \text{EBOB}(84, 112)
\text{Toplam Torba Sayısı} = \frac{84}{\text{EBOB}} + \frac{112}{\text{EBOB}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bir Torbanın Maksimum Ağırlığını Bulma (EBOB)
84\text{ kg} ve 112\text{ kg} sayılarının asal çarpanlarını belirleyip ortak bölenlerin en büyüğünü bulalım:
- 84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1
- 112 = 2^4 \times 7^1
Ortak asal çarpanların en küçük üslerini çarparak EBOB’u buluruz:
\text{EBOB}(84, 112) = 2^2 \times 7^1 = 4 \times 7 = 28\text{ kg}
Her bir torba en fazla 28\text{ kg} nohut alabilir.
Adım 2 — Her Bir Cins İçin Gerekli Torba Sayısını Hesaplama
- 84\text{ kg}'lık nohut için:
\frac{84\text{ kg}}{28\text{ kg}} = 3\text{ adet torba}
- 112\text{ kg}'lık nohut için:
\frac{112\text{ kg}}{28\text{ kg}} = 4\text{ adet torba}
Adım 3 — Toplam Torba Sayısını Bulma
3 + 4 = 7\text{ adet torba}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (7)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
- Tanım: İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri arasında en büyük olanıdır.
- Bu problemde: Çuvallardaki nohutlar artmadan ve karıştırılmadan paylaştırılacağı için torba ağırlığının her iki sayıyı da tam bölmesi gerekir. Torba sayısını en aza indirmek için torba büyüklüğü olarak 84 ve 112’nin EBOB’u (28\text{ kg}) seçilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
EBOB Değerini Doğrudan Cevap Sanmak
- Yanlış: Bulunan 28 değerini torba sayısı olarak işaretlemek.
- Doğru: 28\text{ kg}, bir torbanın kapasitesidir. Toplam torba sayısını bulmak için toplam ağırlıklar bu kapasiteye bölünmelidir.
- Neden yanlış: Soru torba kapasitesini değil, toplam torba sayısını sormaktadır.
Bu soru tipinde EBOB yerine EKOK kullanılması gereken durumları ve aralarındaki farkı pekiştirmek için benzer bir örnek çözmemi ister misin?