A = 4! + 5! + 6!
B = 5! + 6! + 7!
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre EKOK(A, B) ifadesinin değeri nedir?
A) 5!
B) 42 \cdot 5!
C) 6!
D) 42 \cdot 7!
E) 8!
Faktöriyel İfadelerinde Ortak Parantez ve EKOK Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ardışık faktöriyelli toplamlar, en küçük faktöriyelin ortak parantezine alınarak sadeleştirilir. Ortak çarpan parantezine alınan iki sayının katsayıları aralarında asal ise \text{EKOK}, ortak çarpan ile bu katsayıların çarpımına eşittir: \text{EKOK}(k \cdot x, \, k \cdot y) = k \cdot x \cdot y \quad (\text{EBOB}(x, y) = 1).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — A ve B İfadelerini Ortak Faktöriyel Parantezine Alma
Verilen eşitliklerdeki terimleri en küçük faktöriyellerin parantezine alarak düzenleyelim:
A = 4! + 5! + 6! = 4!(1 + 5 + 5 \cdot 6) = 4!(1 + 5 + 30) = 4! \cdot 36
B = 5! + 6! + 7! = 5!(1 + 6 + 6 \cdot 7) = 5!(1 + 6 + 42) = 5! \cdot 49
Adım 2 — Ortak Çarpanı Belirleme ve EKOK Hesabı
B ifadesindeki 5! terimini 4! \cdot 5 şeklinde yazarak her iki sayıyı 4! tabanında karşılaştıralım:
A = 4! \cdot 36
B = 4! \cdot (5 \cdot 49) = 4! \cdot 245
36 = 2^2 \cdot 3^2 ve 245 = 5 \cdot 7^2 sayılarının ortak asal böleni olmadığından aralarında asaldır (\text{EBOB}(36, 245) = 1). Dolayısıyla:
\text{EKOK}(A, B) = 4! \cdot 36 \cdot 245
Adım 3 — Sonucu Seçeneklere Uygun Biçimde Düzenleme
Elde edilen çarpımı faktöriyel tanımına göre gruplayalım:
\text{EKOK}(A, B) = (4! \cdot 5) \cdot 36 \cdot 49 = 5! \cdot (6 \cdot 6) \cdot (7 \cdot 7)
(6 \cdot 7 \cdot 5!) \cdot (6 \cdot 7) = 7! \cdot 42 = 42 \cdot 7!
CEVAP: D) 42 \cdot 7!
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Büyük faktöriyel sorularında sayısal değerleri çarpmak yerine, 6 \cdot 7 \cdot 5! = 7! geçişinde olduğu gibi faktöriyeli basamak basamak büyüterek seçeneklerdeki forma ulaşmak zaman kazandırır.