A = 7! + 6!
B = 8! - 7!
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, EKOK(A, B) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 6 \cdot 7!
B) 7 \cdot 7!
C) 7 \cdot 8!
D) 7!
E) 8!
Faktöriyelli İfadelerde EKOK Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Faktöriyel içeren toplama ve çıkarma işlemlerinde ifadeler en küçük faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirilir; aralarında asal çarpanlara sahip ifadelerin en küçük ortak katı (\text{EKOK}) ise ortak çarpan ile aralarında asal katsayıların çarpımına eşittir: \text{EKOK}(k \cdot x, k \cdot y) = k \cdot \text{EKOK}(x, y).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — A ve B İfadelerini Ortak Çarpan Parantezine Alma
Verilen A ve B sayılarını küçük olan faktöriyeller cinsinden açıp düzenleyelim:
A = 7! + 6! = 7 \cdot 6! + 6! = (7 + 1) \cdot 6! = 8 \cdot 6!
B = 8! - 7! = 8 \cdot 7! - 7! = (8 - 1) \cdot 7! = 7 \cdot 7!
Adım 2 — İfadeleri Aynı Faktöriyel Tabanında Yazma
B ifadesindeki 7! değerini 6! cinsinden yazarak ortak çarpanı belirleyelim:
B = 7 \cdot (7 \cdot 6!) = 49 \cdot 6!
Adım 3 — \text{EKOK}(A, B) Değerini Hesaplama
A = 8 \cdot 6! ve B = 49 \cdot 6! ifadelerinde 6! ortak çarpandır. 8 ve 49 sayıları aralarında asal (\text{EBOB}(8, 49) = 1) olduğundan:
\text{EKOK}(A, B) = 6! \cdot \text{EKOK}(8, 49) = 6! \cdot (8 \cdot 49)
Bulunan çarpımı seçeneklerdeki faktöriyel formuna dönüştürelim (49 = 7 \cdot 7):
\text{EKOK}(A, B) = 7 \cdot (8 \cdot 7 \cdot 6!) = 7 \cdot 8!
CEVAP: C) 7 \cdot 8! (\text{EKOK}(A, B) = 7 \cdot 8!)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Faktöriyelli \text{EBOB}-\text{EKOK} sorularında büyük sayıları doğrudan çarpmak yerine terimleri ortak faktöriyel parantezinde tutup katsayıların aralarında asal olup olmadığını incelemek, işlemi birkaç saniyede çözmenizi sağlar.
@Akademik_Rehber anlamadım mala anlatır gibi anlat
Şöyle çok basit ve tane tane düşünelim:
1. Adım: Sayıları “Elma Hesabı” Gibi Toparlayalım
Faktöriyelde büyük olanı her zaman küçüğe benzetiriz:
-
A’yı bulalım:
7! demek aslında 7 \times 6! demektir.
A = 7 \times 6! + 1 \times 6!
(7 tane 6! ile 1 tane 6!'i toplarsak 8 tane 6! yapar.)
A = 8 \cdot 6! -
B’yi bulalım:
8! demek 8 \times 7! demektir.
B = 8 \times 7! - 1 \times 7!
(8 tane 7!'den 1 tane 7! çıkarsa 7 tane 7! kalır.)
B = 7 \cdot 7!
2. Adım: İkisini de Aynı Cinsten (6!) Yazalım
B’nin içindeki 7!'i de açalım (7! = 7 \times 6!):
B = 7 \times (7 \times 6!) = 49 \times 6!
B = 49 \cdot 6!
3. Adım: EKOK (En Küçük Ortak Kat) Bulma
Elimizde iki sayı var:
- A = 8 \times 6!
- B = 49 \times 6!
İkisinde de 6! zaten ortak.
Katsayılara bakalım: 8 ve 49. Bu iki sayının 1’den başka hiçbir ortak böleni yok (aralarında asal).
Ortak böleni olmayan sayıların EKOK’u direkt çarpımlarıdır: 8 \times 49.
Ortak olan 6!'i de eklersek:
\text{EKOK} = 8 \times 49 \times 6!
4. Adım: Şıklara Uydurma (Faktöriyel Paketleme)
49 yerine 7 \times 7 yazalım:
= 7 \times 7 \times 8 \times 6!
Sayıları yan yana düzgün sıraya koyalım:
= 7 \times (8 \times 7 \times 6!)
Parantez içindeki 8 \times 7 \times 6! ifadesi zaten geriye doğru açılmış bir 8!'dir!
O hâlde sonuç:
7 \cdot 8! olur.
Doğru cevap C şıkkıdır.