Uzun kenarı, kısa kenarının uzunluğunun 2 katı olan ABCD dikdörtgeni şeklinde bir panoya eşit büyüklükte dikdörtgen şeklindeki şeritler aşağıdaki gibi üst üste gelmeyecek şekilde yerleştiriliyor.
Buna göre dikdörtgen şeklindeki şeritlerden birinin kısa kenar uzunluğu kaç cm’dir?
A) 2
B) \frac{4}{3}
C) 1
D) \frac{4}{5}
E) \frac{3}{4}
Dikdörtgen Şeritlerin Kısa Kenar Uzunluğunun Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL VE BAĞINTILAR:
- Dikdörtgenin Kenar Bağıntısı: \text{Uzun Kenar } (W) = 2 \times \text{Kısa Kenar } (H)
- Şeritlerin boyutları: Kısa kenar = x\text{ cm}, Uzun kenar = y\text{ cm}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Panonun Kısa Kenarını (H) Şerit Boyutları Cinsinden Yazma
Panonun dikey doğrultusundaki uzunlukları yukarıdan aşağıya doğru toplayalım:
- Panonun üst kenarına dayalı yatay şeridin kısa kenarı: x\text{ cm}
- Aradaki dikey şeridin uzun kenarı: y\text{ cm}
- Alttaki yatay şeridin kısa kenarı: x\text{ cm}
- Alttaki şeridin panonun alt kenarına (BC) olan mesafesi: 4\text{ cm}
H = x + y + x + 4 = y + 2x + 4\text{ cm}
Adım 2 — Panonun Uzun Kenarını (W) Şerit Boyutları Cinsinden Yazma
Panonun yatay doğrultusundaki uzunlukları soldan sağa doğru toplayalım:
- Sol kenar (AB) ile ilk yatay şerit arası mesafe: 2\text{ cm}
- Birinci yatay şeridin uzun kenarı: y\text{ cm}
- İki yatay şerit arasındaki boşluk: 4\text{ cm}
- İkinci yatay şeridin uzun kenarı: y\text{ cm}
- Sağdaki dikey şeridin kısa kenarı (kalınlığı): x\text{ cm}
- Sağdaki dikey şerit ile sağ kenar (CD) arası mesafe: 6\text{ cm}
W = 2 + y + 4 + y + x + 6 = 2y + x + 12\text{ cm}
Adım 3 — Verilen W = 2H Bağıntısını Kurma ve Denklemi Çözme
Panonun uzun kenarı, kısa kenarının 2 katı olarak verildiğinden:
W = 2H
2y + x + 12 = 2(y + 2x + 4)
2y + x + 12 = 2y + 4x + 8
Eşitliğin her iki tarafındaki 2y terimleri birbirini götürür:
x + 12 = 4x + 8
12 - 8 = 4x - x
4 = 3x
x = \frac{4}{3}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \frac{4}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Cebirsel Modelleme
- Tanım: Geometrik şekillerin kenar uzunluklarını bilinmeyen değişkenler (x, y) yardımıyla denklem haline getirme yöntemidir.
- Bu problemde: Panonun boyutları x ve y cinsinden ifade edilmiş, 2y terimleri sadeleşerek doğrudan x değerine ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Şeritlerin Kalınlığını Göz Ardı Etmek
- Yanlış: Yatay veya dikey toplam uzunluğu hesaplarken yalnızca verilen sayıları ve şeritlerin uzun kenarlarını toplamak.
- Doğru: Dikey şeritlerin yatay doğrultuda x kadar genişlik, yatay şeritlerin ise dikey doğrultuda x kadar yükseklik kapladığını hesaba katmak.
- Neden yanlış: Şeritlerin kalınlıkları (x) ihmal edildiğinde denklem tek değişkene indirgenemez ve hatalı sonuç çıkar.
Benzer bir geometri-cebir modelleme sorusuyla pratik yapmak ister misin?