Sürtünmelerin önemsiz olduğu ortamda 2 kg kütleli bir cisim belirli bir yükseklikten serbest düşmeye bırakılıyor. Cisim harekete başladıktan 2 s sonra bir iç patlama sonucu iki eşit parçaya ayrılıyor. Parçalardan biri patlamadan hemen sonra şekildeki gibi yatay doğrultuda 30 m/s’lik hızla fırlıyor.
Buna göre, diğer parçanın patlamadan hemen sonra hızının büyüklüğü kaç m/s’dir? (g = 10 m/s ^2)
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
Serbest Düşme ve Patlamalarda Momentum Korunumu
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Serbest düşmede hız bağıntısı: v = g \cdot t
- Momentumun vektörel korunumu: \vec{P}_{\text{önce}} = \vec{P}_{\text{sonra}}
- Parçacık momentumu: \vec{p} = m \cdot \vec{v}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Patlama Anındaki (Önceki) Hız ve Momentumun Bulunması
Cisim serbest düşmeye bırakıldıktan 2\text{ s} sonra yer çekimi ivmesi (g = 10\text{ m/s}^2) etkisiyle aşağı yönde düşey bir hıza ulaşır:
v_y = g \cdot t = 10 \cdot 2 = 20\text{ m/s}
2\text{ kg} kütleli cismin patlamadan hemen önceki toplam momentumu düşey doğrultuda ve aşağı yöndedir:
\vec{P}_{\text{önce}} = M \cdot v_y = 2 \cdot (-20\,\hat{j}) = -40\,\hat{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}
Adım 2 — Patlamadan Sonraki Parçaların Momentumunun Korunumu
İç patlamalarda dış kuvvetlerin ani etkisi ihmal edilir ve momentum vektörel olarak korunur (\vec{P}_{\text{önce}} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2).
- 1\text{ kg}'lık birinci parçanın hızı yatayda +x yönünde 30\text{ m/s}'dir:
\vec{p}_1 = m_1 \cdot \vec{v}_1 = 1 \cdot (30\,\hat{i}) = 30\,\hat{i}\text{ kg}\cdot\text{m/s}
- Momentum eşitliğini kuralım:
\vec{P}_{\text{önce}} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2
-40\,\hat{j} = 30\,\hat{i} + \vec{p}_2 \implies \vec{p}_2 = -30\,\hat{i} - 40\,\hat{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}
Adım 3 — İkinci Parçanın Hız Büyüklüğünün Hesaplanması
İkinci parçanın kütlesi m_2 = 1\text{ kg} olduğuna göre hız vektörü:
\vec{v}_2 = \frac{\vec{p}_2}{m_2} = -30\,\hat{i} - 40\,\hat{j}\text{ m/s}
Hız vektörünün büyüklüğü Pisagor bağıntısı ile bulunur:
v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{(-30)^2 + (-40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\text{ m/s}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 50
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Momentum Korunumu: İç patlamalarda net dış kuvvet momentum değişimine anlık olarak etki edemeyecek kadar kısa sürdüğünden, patlamadan hemen önceki momentum patlamadan hemen sonraki toplam momentuma vektörel olarak eşittir.
- 3 - 4 - 5 Özel Üçgeni: Yatay ve düşey bileşenler sırasıyla 30\text{ m/s} ve 40\text{ m/s} olduğundan, bileşke hız vektörü doğrudan 50\text{ m/s} olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Hızları skaler olarak toplayıp veya çıkarıp 30 - 20 = 10\text{ m/s} veya 30 + 20 = 50\text{ m/s} demek (doğru sayıya tesadüfen ulaşılsa bile yön mantığı yanlıştır).- Doğru Yaklaşım: Momentumun vektörel bir büyüklük olduğunu unutmayıp, yatay (x) ve düşey (y) eksenlerde ayrı ayrı korunum denklemi yazmak.
Benzer bir iki boyutlu momentum korunumu sorusuyla pratik yapmak ister misin?