Buna göre, denklemin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

YKS TYT
1

Soru:
Buna göre, denklemin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
Given that the roots of the equation are such that, the arithmetic mean of the roots is equal to the geometric mean, what is one of the roots of the equation?
(max

- 2024)^2 = 2m - 16

Which of the following is a root of the equation?
A) 200
B) 232
C) 240
D) 253
E) 262

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Buna göre, denklemin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • İkinci dereceden denklemin kökleri x_1, x_2 için,
    • Aritmetik ortalama: \frac{x_1 + x_2}{2}
    • Geometrik ortalama: \sqrt{x_1 x_2}
  • Soruda bu iki ortalamanın eşit olduğu verilmiş:
    \frac{x_1 + x_2}{2} = \sqrt{x_1 x_2}
  • Bu eşitlikten x_1 = x_2 yani kökler eşittir (çünkü pozitif köklerde eşitlik için ancak kökler eşit olmalı).
  • Soruda verilen denklemi açıp köklerini inceleyeceğiz.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen denklemi aç

(\max - 2024)^2 = 2m - 16

Burada \max ifadesi muhtemelen x değişkeniyle ilgili bir yazım hatası,
denklemi

(x - 2024)^2 = 2m - 16

şeklinde alalım. Ayrıca m bir sabittir.

Adım 2 — Denklemi standart ikinci dereceden biçime getir

(x - 2024)^2 = 2m - 16
x^2 - 2 \cdot 2024 \cdot x + 2024^2 = 2m - 16
x^2 - 4048x + 2024^2 - 2m + 16 = 0

Denklemimiz:

x^2 - 4048x + 2024^2 - 2m + 16 = 0

Adım 3 — Köklerin aritmetik ve geometrik ortalaması eşit olma koşulunu kullan
Kökleri x_1 ve x_2 olmak üzere;

\frac{x_1 + x_2}{2} = \sqrt{x_1 x_2}

Bu durum ancak

x_1 = x_2

olduğunda sağlanır.

Yani, kökler eşittir, ikinci dereceden denklemin kökleri birbirine eşittir.

Adım 4 — Köklerin eşit olması için diskriminant sıfır olmalı

\Delta = b^2 - 4ac = 0

Burada a=1, b = -4048, c = 2024^2 - 2m + 16.

(-4048)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2024^2 - 2m + 16) = 0

Adım 5 — Diskriminantı çöz

4048^2 - 4 \cdot (2024^2 - 2m + 16) = 0
4048^2 = 4(2024^2 - 2m + 16)
2024^2 = 2024^2 - 2m + 16

Çünkü 4048 = 2 \times 2024, 4048^2 = (2 \times 2024)^2 = 4 \times 2024^2, buradan:

4 \times 2024^2 = 4(2024^2 - 2m + 16)

Sayfanın istediği şekilde açarsak,

4 \times 2024^2 = 4 \times 2024^2 - 8m + 64
4 \times 2024^2 - 4 \times 2024^2 = -8m + 64
0 = -8m + 64
8m = 64
m = 8

Adım 6 — m=8 değerini denklemde yerine koy

(x - 2024)^2 = 2m -16 = 2 \times 8 -16 = 16 -16 = 0
(x - 2024)^2 = 0
x = 2024

Adım 7 — Ancak seçeneklerde 2024 yok, seçenekler küçük çünkü kökler daha küçük olmalı
Burada dikkat: Soruda \max ifadesi net değil, denklemin kökleri için hacimli verilere göre açılım yapmayı yeniden kontrol etmeliyiz.

Alternatif İnceleme:

Şöyle düşünelim:

  • Denklemi direkt aşağıdaki gibi yazmış olabiliriz:
(x - 2024)^2 = 2m - 16

Burada m de bir değişken.

Eğer x’e göre bir denklem arıyorsak önce m’yi izole etmek gerekir:

2m = (x - 2024)^2 + 16
m = \frac{(x - 2024)^2 + 16}{2}

Verilen diğer bilgi:

  • İkinci dereceden bir denklem var, köklerinin aritmetik ve geometrik ortalaması eşit.
  • Bu durumda kökler eşittir yani ikinci dereceden denklem diskriminantı sıfır.

Denklemin kökleri hakkında sorun var, çünkü denklemin kendisi bilinmiyor sadece (\max - 2024)^2 = 2m - 16 verilmiş.

Yorum:

Bu ifadeyi bir denklem olarak düşünüyorsak aslında m parametre olarak veriliyor ve:

(x - 2024)^2 = 2m - 16

ya da

x - 2024 = \pm \sqrt{2m -16}

iki kök var:

x_1 = 2024 + \sqrt{2m -16} \quad,\quad x_2 = 2024 - \sqrt{2m -16}

Bu köklerin aritmetik ortalaması:

\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{(2024 + \sqrt{2m -16}) + (2024 - \sqrt{2m -16})}{2} = \frac{4048}{2} = 2024

Geometrik ortalaması:

\sqrt{x_1 x_2} = \sqrt{(2024 + \sqrt{2m -16})(2024 - \sqrt{2m -16})} = \sqrt{2024^2 - (2m -16)}

Eşit olmaları için,

2024 = \sqrt{2024^2 - (2m -16)}

Her iki tarafın karesini al:

2024^2 = 2024^2 - (2m -16)
0 = -(2m -16)
2m -16 = 0
2m = 16
m = 8

Adım 8 — m=8 için kökleri bul

x_1 = 2024 + \sqrt{2 \cdot 8 -16} = 2024 + \sqrt{16 -16} = 2024 + 0 = 2024
x_2 = 2024 - 0 = 2024

Burada kök 2024, seçeneklerde yok.

Adım 9 — Soruda seçeneklerde küçük sayılar var; denklemi orijinal haliyle veya x yerine m değişkeni koyup çözelim.

Yukarıdaki denkleme alternatif olarak, fotoğrafa bakınca:

(m x - 2024)^2 = 2m -16

varsa,

Burada mx - 2024 karesi alınmış, yani x bilinmeyen, m sabit değil.

Bu durumda denklemin köklerini bulmak için açalım:

(m x - 2024)^2 = 2 m -16

Ayrıntılı açalım:

(m x)^2 - 2\cdot m x \cdot 2024 + 2024^2 = 2 m -16
m^2 x^2 - 4048 m x + 2024^2 = 2 m -16
m^2 x^2 - 4048 m x + (2024^2 - 2 m + 16) = 0

Bu, x cinsinden ikinci dereceden bir denklemdir.

Adım 10 — Köklerin aritmetik ve geometrik ortalaması eşittir

Kökler x_1, x_2 için,

aritmetik ortalama:

\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{4048 m}{2 m^2} = \frac{4048 m}{2 m^2} = \frac{4048}{2 m} = \frac{2024}{m}

çünkü x^2 teriminin katsayısı a = m^2, ve b = -4048 m.

Kök toplamı -\frac{b}{a} = \frac{4048 m}{m^2} = \frac{4048}{m}.

Kök çarpımı:

\frac{c}{a} = \frac{2024^2 - 2 m +16}{m^2}

Geometrik ortalama:

\sqrt{x_1 x_2} = \sqrt{\frac{2024^2 - 2 m +16}{m^2}} = \frac{\sqrt{2024^2 - 2 m +16}}{m}

Adım 11 — Eşitlik koşulu:

\frac{2024}{m} = \frac{\sqrt{2024^2 - 2 m +16}}{m}

Her iki tarafı m ile çarp:

2024 = \sqrt{2024^2 - 2 m +16}

Her iki tarafın karesi:

2024^2 = 2024^2 - 2 m +16
0 = -2 m +16
2 m =16
m=8

Adım 12 — m=8 için kökleri bul

Denklem:

(8^2) x^2 - 4048 \cdot 8 x + (2024^2 - 2 \cdot 8 +16) = 0
64 x^2 - 32384 x + (2024^2 - 16 +16) = 0
64 x^2 - 32384 x + 2024^2 = 0

Adım 13 — Kökler birbirine eşit olmalı (çünkü aritmetik ve geometrik ortalama eşit)

Diskriminantı sıfır yapalım:

\Delta = b^2 - 4 a c = 0
(-32384)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 2024^2 = 0

Hesaplayalım:

32384^2 = ?
2024^2 = ?
  • 2024^2 = 2024 \times 2024 = yaklaşık 4,096,576
  • 32384^2 \approx 32384 \times 32384 = ?

Fakat burada tam sayılar çok büyük, hızlı hesap yapalım.

Ama zaten bu eşitliği sağladığımız için köklerin yeniden eşit olduğunu bildiğimiz için,

Adım 14 — Kökleri bul

Kök:

x = \frac{32384}{2 \times 64} = \frac{32384}{128} = 253

Sonuç:

Seçeneklere bakarsak 253 D seçeneğindedir.

:white_check_mark: CEVAP: D) 253

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. İkinci Dereceden Denklem Kökleri

  • Köklerin toplamı ve çarpımı katsayılardan bulunur.
  • Ayrıtici (diskriminant) köklerin eşit olup olmadığını belirler.

2. Aritmetik ve Geometrik Ortalama

  • İki sayının eşit aritmetik ve geometrik ortalaması yalnızca sayıların eşit olduğu durumlarda sağlanır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Buna göre, denklemin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • İkinci dereceden denklem ax^2+bx+c=0 için köklerin aritmetik ortalaması \dfrac{-b}{2a} ve geometrik ortalaması \sqrt{\dfrac{c}{a}} olur.
  • Eşitlik \dfrac{-b}{2a}=\sqrt{\dfrac{c}{a}} ise b^2=4ac (ayrıca bu, diskriminantın sıfır olması demektir).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemi ikinci derece forma getir

Denklem:

(mx-2024)^2 = 2m-16
(mx-2024)^2 - (2m-16) = 0
m^2x^2 - 2\cdot 2024\cdot m x + 2024^2 - (2m-16) = 0
m^2x^2 - 2\cdot 2024\cdot m x + (2024^2 - 2m + 16) = 0

Adım 2 — Katsayıları belirle ve koşulu uygula

a:

a = m^2

b:

b = -2\cdot 2024\cdot m

c:

c = 2024^2 - 2m + 16

Koşul:

b^2 = 4ac
(-2\cdot 2024\cdot m)^2 = 4\cdot m^2 \cdot (2024^2 - 2m + 16)
4\cdot 2024^2 \cdot m^2 = 4\cdot m^2 \cdot (2024^2 - 2m + 16)
\frac{4\cdot 2024^2 \cdot m^2}{4\cdot m^2} = \frac{4\cdot m^2 \cdot (2024^2 - 2m + 16)}{4\cdot m^2}
2024^2 = 2024^2 - 2m + 16
0 = -2m + 16
2m = 16
m = 8

Adım 3 — Kökü bul

Tekrarlı kök:

r = -\frac{b}{2a}
r = -\frac{-2\cdot 2024\cdot m}{2\cdot m^2}
r = \frac{2\cdot 2024\cdot m}{2\cdot m^2}
r = \frac{2024\cdot m}{m^2}
r = \frac{2024}{m}
r = \frac{2024}{8}
r = 253

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 253
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Diskriminant
  • Tanım: \Delta=b^2-4ac
  • Bu problemde: \Delta=0 olması, köklerin eşit olduğunu ve aritmetik ile geometrik ortalamanın eşit olduğunu sağlar.
  1. Köklerin Aritmetik ve Geometrik Ortalaması
  • Tanım: Aritmetik ort. \dfrac{r_1+r_2}{2}, geometrik ort. \sqrt{r_1r_2}
  • Bu problemde: Eşitlik, diskriminantın sıfırına indirgenir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: m=0 varsayımı

  • Yanlış: m=0 alınır ve ikinci derece zannedilir.
  • Doğru: m=0 durumunda denklem ikinci derece olmaz; katsayıları belirlerken m≠0 olduğu varsayılmalıdır.
  • Neden yanlış: a=m^2 olduğundan m=0 ise a=0 olur.
  • Düzeltme: Denklemin ikinci derece olması için m≠0 kabul edilir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?