Buna göre, bu sayıların farkı en az kaçtır?

YKS TYT
1
  1. Toplamları 30 olan iki doğal sayınin en büyük ortak bölen
    6’dır.
    Buna göre, bu sayıların farkı en az kaçtır?
    A) -8
    B) -12
    C) -18
    D) -20
    E) -24

Toplamları 30 olan iki doğal sayınin en büyük ortak bölen 6'dır.
Toplamları 30 olan iki doğal sayınin en büyük ortak bölen 6'dır.1024×672 78.2 KB

2

Toplamları 30 ve EBOB’u 6 Olan İki Doğal Sayının Farkının En Küçük Değeri

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

İki doğal sayının en büyük ortak böleni \text{EBOB}(a, b) = k ise:

  • a = k \cdot x
  • b = k \cdot y
  • x ve y pozitif tam sayılar olup aralarında asal olmalıdır (\text{EBOB}(x, y) = 1).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sayıları EBOB Cinsinden Tanımlama
Sayılarımıza a ve b diyelim. \text{EBOB}(a, b) = 6 olarak verildiğinden:

a = 6x
b = 6y

Burada x ve y aralarında asal doğal sayılardır.

Adım 2 — Toplam Eşitliğini Kurma ve Sadeleştirme
Sayıların toplamı 30 olarak verilmiştir:

a + b = 30
6x + 6y = 30

Her iki tarafı 6’ya bölelim:

x + y = 5

Adım 3 — x ve y Değer Çiftlerini Belirleme
Toplamları 5 olan ve aralarında asal pozitif tam sayı çiftleri:

  1. x = 1 ve y = 4 için:

    • \text{EBOB}(1, 4) = 1 (Aralarında asaldır)
    • a = 6 \cdot 1 = 6
    • b = 6 \cdot 4 = 24
    • Sayıların farkı: a - b = 6 - 24 = -18 (veya 24 - 6 = 18)

  2. x = 2 ve y = 3 için:

    • \text{EBOB}(2, 3) = 1 (Aralarında asaldır)
    • a = 6 \cdot 2 = 12
    • b = 6 \cdot 3 = 18
    • Sayıların farkı: a - b = 12 - 18 = -6 (veya 18 - 12 = 6)

Adım 4 — En Küçük Farkı Bulma
Elde edilen tüm fark değerleri kümesi \{-18, -6, 6, 18\}'dir.
Bu değerler arasındaki en küçük (en az) değer:

-18

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) -18
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. EBOB ve Kat İlişkisi

  • Tanım: İki sayının EBOB’u k ise, sayılar k’nın birer tam katıdır ve kat katsayıları (x, y) aralarında asal olmak zorundadır.
  • Bu problemde: Katsayılar x ve y aralarında asal seçilerek \text{EBOB}(6, 24) = 6 ve \text{EBOB}(12, 18) = 6 koşulları sağlanmıştır.

2. Sayıların Farkının Negatif Değeri

  • Tanım: İki reel sayının farkı sorulduğunda sıra belirtilmemişse (a-b veya b-a), “en az” ifadesi sayı doğrusundaki en sol (en küçük negatif) değeri kasteder.
  • Bu problemde: 6 - 24 = -18 değeri farkın alabileceği en küçük değerdir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Farkı Mutlak Değer Olarak Düşünmek

  • Yanlış: Sayıların farkını sadece pozitif kabul edip |6 - 24| = 18 ve |12 - 18| = 6 bularak en az 6 demek.
  • Doğru: Soru kökünde “farkın mutlak değeri” istenmediği ve seçenekler negatif verildiği için a - b = -18 en küçük değer olarak alınmalıdır.
  • Neden yanlış: Seçeneklerde negatif sayılar varken küçükten büyüğe sıralamada -18 < -6 < 6 < 18 sıralaması geçerlidir.

Benzer mantıkla çözülen EKOK-EBOB ilişkili bir pekiştirme sorusu yazmamı ister misin?