İki basamaklı 10 adet ardışık pozitif tam sayının rakamlarının toplanmasıyla elde edilen 10 sayı bir kâğıda yazılıyor ve bu kâğıttaki 10 sayı toplandığında 109 sayısı elde ediliyor.
Buna göre bu sayılar ile ilgili
I. En küçüğü bir tam kare sayıdır.
II. Biri 15 ile tam bölünür.
III. En büyüğü bir asal sayıdır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
Ardışık Sayılarda Basamak Değeri ve Rakamları Toplamı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ardışık 10 tam sayının birler basamağındaki rakamlar 0, 1, 2, \dots, 9 kümesinin birer permütasyonudur ve birler basamaklarının toplamı daima 0 + 1 + 2 + \dots + 9 = 45 olur. İki basamaklı sayıların toplam rakam değeri, onlar basamaklarının toplamı ile birler basamaklarının toplamının (45) birleşimidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Onlar basamaklarının toplamını belirleme
Verilen 10 adet iki basamaklı ardışık sayının birler basamakları toplamı her durumda 45’tir. Kâğıda yazılan rakamlar toplamı 109 olarak verildiğine göre onlar basamaklarının toplamı:
\text{Onlar Basamakları Toplamı} = 109 - 45 = 64
Adım 2 — Sayıların onlar basamağındaki dağılımını bulma
Eğer tüm sayıların onlar basamağı aynı (a) olsaydı toplam 10a = 64 olurdu; fakat 64 sayısı 10’a tam bölünmez. Dolayısıyla sayılar bir onluk geçişi yapmaktadır.
- k tanesinin onlar basamağı a,
- (10 - k) tanesinin onlar basamağı a + 1 olsun (1 \le k \le 9):
k \cdot a + (10 - k)(a + 1) = 64
10a + 10 - k = 64 \implies 10a - k = 54
1 \le k \le 9 aralığında bu eşitliği sağlayan tek değerler a = 6 ve k = 6’dır (10 \cdot 6 - 6 = 54).
Adım 3 — Ardışık 10 sayıyı tespit etme
Onlar basamağı 6 olan 6 sayı ve onlar basamağı 7 olan 4 sayı vardır:
- Onlar basamağı 6 olanlar: 64, 65, 66, 67, 68, 69
- Onlar basamağı 7 olanlar: 70, 71, 72, 73
Bu sayılar kümesi: \{64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73\}
Adım 4 — Öncüllerin doğruluğunu inceleme
- I. En küçüğü bir tam kare sayıdır: En küçük sayı 64’tür ve 64 = 8^2 olduğundan tam karedir. (Doğru)
- II. Biri 15 ile tam bölünür: Bu aralıktaki sayılardan hiçbiri 15’in katı değildir (15 \times 4 = 60, 15 \times 5 = 75). (Yanlış)
- III. En büyüğü bir asal sayıdır: En büyük sayı 73’tür ve 73 bir asal sayıdır. (Doğru)
CEVAP: C) I ve III
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Ardışık 10 tam sayının birler basamağı toplamının her zaman sabit ve 45 olduğunu bilmek, doğrudan onlar basamağının toplamına (109 - 45 = 64) ulaşmanızı sağlayarak zaman kazandırır.