Bir boyacı kırmızı, sarı ve beyaz boyaları karıştırarak 38 kilogramlık turuncu boya elde ediyor.
Boyacının yaptığı karışımda kırmızı boyanın beyaz boyaya oranı \frac{1}{2}, beyaz boyanın sarı boyaya oranı \frac{3}{5}'tir.
Buna göre, bu karışımda kaç kilogram sarı boya vardır?
Karışımdaki Sarı Boya Miktarının Hesaplanması
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
Birden fazla orantı verildiğinde, ortak olan değişkenin karşısındaki sayılar ortak bir katta (EKOK) eşitlenir:
\text{Toplam Karışım} = \text{Kırmızı} + \text{Beyaz} + \text{Sarı}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Oranları Belirleme ve Ortak Değişkeni Eşitleme
Soruda verilen oranlar:
- \frac{\text{Kırmızı}}{\text{Beyaz}} = \frac{1}{2}
- \frac{\text{Beyaz}}{\text{Sarı}} = \frac{3}{5}
Her iki oranda da ortak olan değişken Beyaz boyadır. Beyaz boyanın karşısındaki sayılar 2 ve 3’tür. Bu sayıların en küçük ortak katı \text{EKOK}(2, 3) = 6’dır.
Oranları genişletelim:
- \frac{\text{Kırmızı}}{\text{Beyaz}} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}
- \frac{\text{Beyaz}}{\text{Sarı}} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}
Adım 2 — Boya Miktarlarını Kat Cinsinden İfade Etme
Genişletilmiş oranlara göre her bir boya miktarını bir k katı ile gösterelim:
- \text{Kırmızı boya} = 3k
- \text{Beyaz boya} = 6k
- \text{Sarı boya} = 10k
Adım 3 — Toplam Ağırlık Denklemini Kurma ve k Değerini Bulma
Karışımın toplam kütlesi 38\text{ kg} olarak verilmiştir:
3k + 6k + 10k = 38
19k = 38
k = \frac{38}{19} = 2
Adım 4 — Sarı Boya Miktarını Hesaplama
Sarı boya miktarı 10k olarak belirlenmişti:
\text{Sarı boya} = 10 \times 2 = 20\text{ kg}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Karışımda 20\text{ kg} sarı boya vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çoklu Orantı Eşitleme
- Tanım: İki farklı oranda yer alan ortak bir elemanın değerlerini genişletme yoluyla aynı katsayıda birleştirme yöntemidir.
- Bu problemde: Hem \frac{K}{B} hem de \frac{B}{S} oranlarında bulunan Beyaz (B) miktarı 6k paydasında eşitlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ortak Elemanı Eşitlemeden Doğrudan Toplama
- Yanlış: 1k + 2k + 3k + 5k = 38 şeklinde oranları eşitlemeden toplamak.
- Doğru: Önce ortak değişken olan beyaz boyanın katlarını eşitleyip (3k, 6k, 10k) ardından toplamak.
- Neden yanlış: Beyaz boya bir oranda 2’nin katı, diğerinde 3’ün katı olarak temsil edildiğinden aynı k birimiyle doğrudan toplanamaz.
Bu oran-orantı mantığını pekiştirmek için benzer bir karışım problemi daha çözmemi ister misin?