Çamlıdağ Marketler Grubu’nun Türkiye genelinde şubelerinin sayısı ve şubelerde çalışan personelin dağılımı aşağıdaki gibidir.
Her ilde 9 tane olmak üzere 81 ilde şubeler mevcuttur.
Her şubede bir müdür, dört müdür yardımcısı ve her müdür yardımcısına bağlı 19 personel çalışmaktadır.
Yeni yıl kutlamaları için her şube müdürüne bir mesaj yollanmış, müdürler bu mesajları tüm müdür yardımcılarına yollamış, müdür yardımcıları da gelen mesajları kendine bağlı tüm çalışanlara yollamıştır.
Buna göre bu firmada yeni yıl kutlaması için kaç mesaj atılmıştır?
A) 3^9
B) 9^5
C) 3^{11}
D) 81^3
E) 27^5
Çamlıdağ Marketler Grubu Toplam Yeni Yıl Mesajı Sayısının Hesaplanması
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Toplam Eleman Sayısı: \text{Grup Sayısı} \times \text{Her Gruptaki Eleman Sayısı}
- Üslü Sayılarda Çarpma Kuralı: a^x \cdot a^y = a^{x+y}
- Üssün Üssü Kuralı: (a^x)^y = a^{x \cdot y}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toplam Şube Sayısını Bulma
Her ilde 9 şube olmak üzere toplam 81 ilde şube bulunmaktadır.
- 81 = 3^4
- 9 = 3^2
\text{Toplam Şube Sayısı} = 81 \times 9 = 3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 \text{ adet şube}
Adım 2 — Bir Şube İçin Atılan Mesaj Sayısını Bulma
Her bir şubede gerçekleşen mesajlaşma aşamalarını tek tek hesaplayalım:
- Şube Müdürüne Gönderilen Mesaj: 1 adet
- Müdürün Müdür Yardımcılarına Gönderdiği Mesajlar: 4 adet (4 müdür yardımcısının her birine 1 mesaj)
- Müdür Yardımcılarının Personellere Gönderdiği Mesajlar: 4 \times 19 = 76 adet (4 müdür yardımcısı, kendilerine bağlı 19’ar personele 1’er mesaj atar)
Bir şubedeki toplam mesaj sayısı:
1 + 4 + 76 = 81 = 3^4 \text{ adet mesaj}
Adım 3 — Tüm Firmada Atılan Toplam Mesaj Sayısını Hesaplama
Firma genelinde atılan toplam mesaj sayısı, toplam şube sayısı ile bir şubede atılan mesaj sayısının çarpımına eşittir:
\text{Toplam Mesaj Sayısı} = (\text{Toplam Şube Sayısı}) \times (\text{Bir Şubedeki Mesaj Sayısı})
\text{Toplam Mesaj Sayısı} = 3^6 \times 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}
Adım 4 — Sonucu Seçeneklerdeki Üslü İfade Formatına Dönüştürme
Bulunan 3^{10} değerini üssün üssü kuralını kullanarak tabanı 9 olacak şekilde düzenleyelim:
3^{10} = (3^2)^5 = 9^5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 9^5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üslü Sayılarda Taban Dönüşümü
- Tanım: Bir üslü ifadenin tabanı, üssün üssü kuralı (a^x)^y = a^{x \cdot y} kullanılarak farklı bir tabanda yeniden yazılabilir.
- Bu problemde: Bulduğumuz 3^{10} değeri, 3^2 = 9 eşitliğinden yararlanılarak (3^2)^5 = 9^5 biçimine dönüştürülmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Şube Müdürüne Gelen İlk Mesajı Unutmak
- Yanlış: Yalnızca şube içindeki mesajlaşmaları (4 + 76 = 80) hesaba katmak.
- Doğru: Merkezin şube müdürüne yolladığı 1 adet kutlama mesajını da toplama ekleyerek 1 + 4 + 76 = 81 bulmak.
- Neden yanlış: Problem metninde “her şube müdürüne bir mesaj yollanmış” ifadesi yer aldığı için bu mesaj da atılan toplam mesaj sayısına dahildir.
Bu tür üslü sayı problemlerinde benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
Çamlıdağ Marketler Grubu Yeni Yıl Kutlama Mesajı Sayısı Çözümü
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
\text{Toplam Mesaj Sayısı} = \text{Toplam Şube Sayısı} \times \text{Bir Şube İçin Atılan Mesaj Sayısı}
\text{Üslü Sayılarda Çarpma:} \quad a^n \cdot a^m = a^{n+m} \quad \text{ve} \quad (a^n)^m = a^{n \cdot m}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toplam Şube Sayısını Bulma
- 81 ilin her birinde 9 şube bulunmaktadır.
- 81 = 3^4 ve 9 = 3^2 şeklinde üslü ifade olarak yazılır.
\text{Toplam Şube Sayısı} = 81 \times 9 = 3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 \text{ adet şube}
Adım 2 — Bir Şube İçin Atılan Toplam Mesaj Sayısını Bulma
Her bir şubedeki mesajlaşma zinciri şu şekildedir:
- Şube müdürüne gönderilen mesaj: 1 adet
- Şube müdürünün 4 müdür yardımcısına gönderdiği mesaj: 4 \times 1 = 4 adet
- 4 müdür yardımcısının kendilerine bağlı 19’ar personele gönderdiği mesaj: 4 \times 19 = 76 adet
\text{Bir Şube İçin Toplam Mesaj} = 1 + 4 + 76 = 81 = 3^4 \text{ adet mesaj}
Adım 3 — Firma Genelinde Atılan Toplam Mesaj Sayısını Hesaplama
- Toplam mesaj sayısı, toplam şube sayısı ile bir şubedeki mesaj sayısının çarpımıdır:
\text{Toplam Mesaj Sayısı} = 3^6 \times 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}
- Bulunan 3^{10} değeri seçeneklerde taban dönüşümü yapılarak aranır:
3^{10} = (3^2)^5 = 9^5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 9^5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üslü Sayılarda Taban ve Üs Dönüşümü
- Tanım: Bir üslü sayı, üssün üssü kuralı kullanılarak farklı tabanlarda ifade edilebilir (a^{n \cdot m} = (a^n)^m).
- Bu problemde: Bulunan 3^{10} sonucu, 3^2 = 9 tabanına dönüştürülerek (3^2)^5 = 9^5 şeklinde şıklara uygun hale getirilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Merkezin Müdüre Attığı Mesajı Unutmak
- Yanlış: Sadece müdür ve yardımcılarının attığı mesajları toplayıp 4 + 76 = 80 almak.
- Doğru: Merkezin en başta müdüre yolladığı 1 mesajı da zincire dahil ederek 1 + 4 + 76 = 81 almak.
- Neden yanlış: Soru kökünde “her şube müdürüne bir mesaj yollanmış” ifadesi yer aldığı için bu ilk mesaj da atılan toplam mesaj sayısına dahildir.
Bu tür üslü sayı problemlerini pekiştirmek için benzer bir soru çözmemi ister misin?