Yarıçapları 6 birim olan A ve B merkezli iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık 6 birimdir. Çemberlerin kesişim noktalarından biri C’dir. Şekilde iki çemberin ortak bölgesi boyanmıştır.
Buna göre boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 18\pi - 9\sqrt{3}
B) 24\pi - 18\sqrt{3}
C) 24\pi - 9\sqrt{3}
D) 30\pi - 18\sqrt{3}
E) 36\pi - 18\sqrt{3}
Kesişen Çemberlerde Ortak Bölgenin (Daire Kesmesi) Alanı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Yarıçapı r, merkez açısı \alpha olan bir daire diliminin alanı \frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2 formülüyle; bir kenarı a olan eşkenar üçgenin alanı ise \frac{a^2\sqrt{3}}{4} formülüyle hesaplanır. İki eş çemberin ortak bölgesinin alanı, iki daire diliminin alanları toplamından aradaki ortak dörtgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Merkez Açıları ve Geometrik Yapıyı Belirleme
Çemberlerin yarıçapları r = 6\text{ birim} ve merkezler arası uzaklık |AB| = 6\text{ birim} olarak verilmiştir. Kesişim noktaları C ve D olarak adlandırıldığında; |AC| = |BC| = |AB| = 6\text{ birim} olduğundan ABC üçgeni bir eşkenar üçgendir ve açısı 60^\circ’dir. Simetri gereği alttaki ABD üçgeni de eşkenar üçgen olup:
m(\widehat{CAD}) = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \quad \text{ve} \quad m(\widehat{CBD}) = 120^\circ
Adım 2 — Daire Dilimlerinin Alanını Hesaplama
Her iki çemberde de 120^\circ’lik merkez açıya sahip daire dilimlerinin alanı:
A_{\text{dilim}} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi\text{ birimkare}
Adım 3 — Ortak Dörtgenin Alanını ve Boyalı Bölgeyi Bulma
ACBD eşkenar dörtgeni, bir kenarı 6 birim olan iki adet eşkenar üçgenden oluşur:
A(ACBD) = 2 \cdot \left(\frac{6^2\sqrt{3}}{4}\right) = 2 \cdot 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\text{ birimkare}
Boyalı bölge, iki daire diliminin birleşimidir; dörtgen alanı her iki dilimde de yer aldığından kesişim alanı:
A_{\text{boyalı}} = 2 \cdot A_{\text{dilim}} - A(ACBD) = 2 \cdot 12\pi - 18\sqrt{3} = 24\pi - 18\sqrt{3}\text{ birimkare}
CEVAP: B) 24\pi - 18\sqrt{3}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Yarıçapları r ve merkezler arası mesafesi r olan iki eş çemberin kesişiminde merkez açı daima 120^\circ olur. Bu tür simetrik “lens” sorularında CD kirişini çizerek alanı iki eşit daire parçasına ayırıp 2 \times (\text{Dilim Alanı} - \text{Üçgen Alanı}) yöntemiyle de pratikçe sonuca ulaşabilirsiniz.