- a ve b pozitif tam sayıları
a! = 42b!
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre, b’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 46
B) 45
C) 41
D) 36
E) 35
a! = 42 \cdot b! Eşitliğini Sağlayan b Değerlerinin Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Faktöriyel açılımı: n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (k+1) \cdot k!
Buradan \frac{a!}{b!} = a \cdot (a-1) \dots (b+1) ardışık tam sayıların çarpımı olarak ifade edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitliği Oran Biçiminde Yazma
Verilen eşitlikte her iki tarafı b! ifadesine bölelim:
\frac{a!}{b!} = 42
Bu durum, a’dan başlayıp geriye doğru b+1’e kadar olan ardışık sayıların çarpımının 42 olması gerektiğini gösterir.
Adım 2 — 42 Sayısını Tek Bir Çarpan Olarak İnceleme (1 Terimli Durum)
42 sayısı doğrudan tek bir terim olarak alınabilir:
a = 42
\frac{42!}{b!} = 42 \implies b! = 41! \implies b = 41
a = 42 ve b = 41 pozitif tam sayılardır ve eşitliği sağlar.
Adım 3 — 42 Sayısını İki Ardışık Sayının Çarpımı Olarak İnceleme (2 Terimli Durum)
42 sayısı ardışık iki tam sayının çarpımı şeklinde yazılabilir:
42 = 7 \cdot 6
Buna göre:
\frac{a!}{b!} = 7 \cdot 6 \implies a = 7
\frac{7!}{b!} = 7 \cdot 6 \implies b! = 5! \implies b = 5
a = 7 ve b = 5 pozitif tam sayılardır ve eşitliği sağlar.
Adım 4 — Üç veya Daha Fazla Ardışık Terim Durumunu Kontrol Etme
- 3 ardışık terim: 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \neq 42 ve 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \neq 42.
- 42 sayısını veren başka ardışık tam sayı çarpımı bulunmamaktadır.
Adım 5 — b’nin Alabileceği Değerlerin Toplanması
b’nin alabileceği değerler 41 ve 5’tir:
41 + 5 = 46
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (46)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyel Sadeleştirmesi
- Tanım: Büyük faktöriyelli bir sayının, küçük faktöriyelli bir sayıya bölünmesiyle arada kalan ardışık terimlerin elde edilmesidir.
- Bu problemde: \frac{a!}{b!} ifadesinin sonucunun 42 çıkması için 42’nin ardışık sayıların çarpımı biçimindeki tüm çarpan kombinasyonları incelenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Tek Bir Durumu Almak
- Yanlış: Yalnızca 42 = 7 \cdot 6 durumunu düşünüp b=5 bulmak veya yalnızca b=41 değerini alıp işlemi sonlandırmak.
- Doğru: Faktöriyel eşitliklerinde hem tek terimli (a=42, b=41) hem de çoklu ardışık terimli (a=7, b=5) durumların tamamını kontrol etmek.
- Neden yanlış: Eksik kök/değer bulunduğu için toplam yanlış çıkar ve yanıltıcı şıklara yönlendirir.
Benzer mantıkla çözülen faktöriyel sorularından bir örnek daha çözmemi ister misin?
a! = 42 \cdot b! Eşitliğini Sağlayan b Değerleri Toplamı
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
Faktöriyel açılımı kuralı:
n! = n \cdot (n-1)!
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (k+1) \cdot k!
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Eşitliği Analiz Etme
Eşitlikte a ve b pozitif tam sayılardır:
a! = 42 \cdot b!
Bu eşitliğin sağlanması için 42 sayısının ardışık tam sayıların çarpımı şeklinde yazılması gerekir.
Adım 2 — Tek Çarpanlı Durumu İnceleme (42)
42 sayısını tek bir terim olarak düşünürsek:
a! = 42 \cdot b!
Eğer b = 41 seçilirse:
a! = 42 \cdot 41! = 42! \implies a = 42
a ve b pozitif tam sayı olduğundan birinci durum geçerlidir. Buradan b_1 = 41 bulunur.
Adım 3 — İki Ardışık Çarpanlı Durumu İnceleme (7 \cdot 6)
42 sayısı iki ardışık sayının çarpımı olarak yazılabilir:
42 = 7 \cdot 6
Bu durumda eşitlik:
a! = 7 \cdot 6 \cdot b!
haline gelir. Eşitliğin sol tarafının 7! olabilmesi için b = 5 olmalıdır:
a! = 7 \cdot 6 \cdot 5! = 7! \implies a = 7
a ve b pozitif tam sayı olduğundan bu durum da geçerlidir. Buradan b_2 = 5 bulunur.
Adım 4 — Üç veya Daha Fazla Ardışık Çarpan Durumunu Kontrol Etme
- 3 ardışık pozitif tam sayının çarpımı: 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 \neq 42 ve 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \neq 42
- Dolayısıyla 42 sayısını 3 veya daha fazla ardışık sayının çarpımı şeklinde yazmak mümkün değildir.
Adım 5 — b’nin Alabileceği Değerler Toplamını Hesaplama
b’nin alabileceği değerler 41 ve 5’tir:
b_1 + b_2 = 41 + 5 = 46
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (46)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyel Açılımı
- Tanım: 1’den n’ye kadar olan ardışık pozitif tam sayıların çarpımına n faktöriyel (n!) denir.
- Bu problemde: a! ifadesi b! cinsinden açılmış ve aradaki katsayının ardışık çarpanlara ayrılabilirliği kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Tek Çarpanı Düşünmek
- Yanlış: Yalnızca b=41 alıp b’nin tek bir değer aldığını varsaymak.
- Doğru: Katsayının (42) birden fazla ardışık çarpan (7 \cdot 6) barındırabileceğini de hesaba katmak.
- Neden yanlış: Eksik kök bulunmasına ve cevabın hatalı işaretlenmesine yol açar.
Faktöriyel içeren benzer bir soru çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?