- a veb pozitif tam sayıları
a! = 42-b!
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre, b’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 46
B) 45
C) 41
D) 36
E) 35
a! = 42 \cdot b! Eşitliğini Sağlayan b Değerlerinin Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Faktöriyel ardışık sayıların çarpımı biçiminde açılabilir:
n! = n \cdot (n-1)!
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (k+1) \cdot k!
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitliği Düzenleme
Verilen eşitlikte her iki tarafı b! ifadesine bölelim:
\frac{a!}{b!} = 42
Bu durum, a! ifadesinin b! ifadesine kadar açılarak sadeleştiğini gösterir. Dolayısıyla 42 sayısı, a’dan başlayarak geriye doğru ardışık sayıların çarpımı olarak yazılmalıdır.
Adım 2 — Birinci Durumu İnceleme (Tek Çarpan)
42 sayısı tek bir sayı olarak düşünülürse:
42 = 42
Buradan:
\frac{a!}{b!} = 42 \implies a! = 42 \cdot 41!
Bu durumda a = 42 ve b = 41 olur.
Adım 3 — İkinci Durumu İnceleme (Ardışık İki Çarpan)
42 sayısı ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılırsa:
42 = 7 \cdot 6
Buradan:
\frac{a!}{b!} = 7 \cdot 6 \implies a! = 7 \cdot 6 \cdot 5! = 7!
Bu durumda a = 7 ve b = 5 olur.
Adım 4 — Üç veya Daha Fazla Ardışık Çarpan Durumunun Kontrolü
42 sayısı 3 veya daha fazla ardışık pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazılamaz (2 \cdot 3 \cdot 4 = 24, 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60). Dolayısıyla başka bir çözüm kümesi yoktur.
Adım 5 — b Değerlerinin Toplamı
b’nin alabileceği değerler 41 ve 5’tir:
\text{Toplam} = 41 + 5 = 46
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 46
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyel Açılımı
- Tanım: n pozitif bir tam sayı olmak üzere, 1’den n’ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımına n faktöriyel denir.
- Bu problemde: a! ifadesi geriye doğru açılarak 42 \cdot b! biçimine getirilmiş ve 42’nin ardışık çarpanları incelenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece b = 41 veya sadece b = 5 Değerini Almak
- Yanlış: 42’yi yalnızca 42 \cdot 1 veya yalnızca 7 \cdot 6 olarak düşünüp eksik değer bulmak.
- Doğru: Çarpanı hem tek sayı (42) hem de ardışık sayıların çarpımı (7 \cdot 6) olarak tüm durumlarıyla değerlendirmek.
- Neden yanlış: Faktöriyel sadeleştirmelerinde birden fazla ardışık çarpan sadeleşmiş olabilir.
Benzer mantıkla çözülen faktöriyel sadeleştirme ve çarpan sorularından bir örnek daha çözmemi ister misin?
a! = 42 \cdot b! Eşitliğini Sağlayan b Değerleri Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Faktöriyel açılımı kuralına göre ardışık sayıların çarpımı faktöriyel cinsinden yazılabilir:
\frac{a!}{b!} = a \cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdots (b+1) = 42
Burada 42 sayısı, ardışık bir veya birden fazla pozitif tam sayının çarpımı olarak ifade edilmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 42’nin Tek Bir Sayı Olarak İfade Edilmesi
42 sayısı doğrudan tek bir çarpan olarak alınabilir:
\frac{a!}{b!} = 42
Buradan a = 42 ve b = 41 elde edilir.
42! = 42 \cdot 41!
Bu durumda birinci b değeri:
b_1 = 41
Adım 2 — 42’nin İki Ardışık Sayının Çarpımı Olarak İfade Edilmesi
42 sayısı iki ardışık sayının çarpımı şeklinde yazılabilir:
42 = 7 \cdot 6
Eşitlikte yerine yazarsak:
\frac{a!}{b!} = 7 \cdot 6
Buradan a = 7 ve b = 5 olur.
7! = 7 \cdot 6 \cdot 5! = 42 \cdot 5!
Bu durumda ikinci b değeri:
b_2 = 5
Adım 3 — 42’nin Üç veya Daha Fazla Ardışık Sayının Çarpımı Olarak Kontrol Edilmesi
- 3 ardışık pozitif tam sayının çarpımı: 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 ve 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 olduğundan çarpımları 42 olan 3 ardışık tam sayı bulunmaz.
- Dolayısıyla b’nin alabileceği başka bir pozitif tam sayı değeri yoktur.
Adım 4 — b Değerlerinin Toplanması
Bulunan b değerleri toplanır:
b_1 + b_2 = 41 + 5 = 46
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 46
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyel Sadeleştirmesi
- Tanım: Büyük faktöriyelli bir ifade, küçük olan faktöriyele kadar ardışık çarpanlarına ayrılarak yazılabilir.
- Bu problemde: \frac{a!}{b!} = 42 oranı, ardışık sayıların çarpımı olarak 42 ve 7 \cdot 6 şeklinde iki farklı biçimde ayrıştırılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Tek Durumu Dikkate Almak
- Yanlış: 42’yi yalnızca 7 \cdot 6 olarak düşünüp b = 5 bulmak veya yalnızca 42! = 42 \cdot 41! diyerek b = 41 almak.
- Doğru: Faktöriyel eşitliklerinde hem doğrudan ardışık çarpan (a = 42, b = 41) hem de çarpanlara ayırma (7 \cdot 6) durumlarının tümü incelenmelidir.
- Neden yanlış: Eksik durum incelemesi eksik kök bulunmasına ve hatalı toplama yol açar.
Benzer mantıkla çözülen faktöriyel eşitliği sorularından bir tane daha pratik yapmak ister misin?