Esnek olmayan çarpışmalarla ilgili yapılan bir deneyde oyun hamurundan yapılmış 1 kg’lık bir blok kullanılmıştır. Yatay zeminde duran bu bloğa doğru yatay olarak 3 m/s hızla özdeş 0,1 kg’lık demir bilyeler aynı anda atılmış ve bu bilyeler bloğa saplanmıştır. İçindeki bilyelerle beraber blok sürtünmesiz yatay zeminde 2 m/s hızla harekete geçmiştir.
Buna göre bloğa kaç adet demir bilye saplanmıştır?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Bloğa Saplanan Demir Bilye Sayısının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Dış kuvvetlerin etkisiz olduğu (sürtünmesiz) sistemlerde çizgisel momentum korunur:
P_{\text{ilk}} = P_{\text{son}}
Tam esnek olmayan çarpışmalarda cisimler birbirine kenetlendiği için son momentum:
P_{\text{son}} = m_{\text{toplam}} \cdot V_{\text{ortak}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Değerlerin Belirlenmesi ve Tanımlanması
- Oyun hamuru bloğunun kütlesi: M = 1\text{ kg}
- Bloğun ilk hızı: V_{\text{blok}} = 0\text{ m/s}
- Tek bir bilyenin kütlesi: m = 0{,}1\text{ kg}
- Bilyelerin ilk hızı: v = 3\text{ m/s}
- Ortak kütlenin son hızı: V_{\text{ortak}} = 2\text{ m/s}
- Saplanan bilye sayısı: n olsun.
Adım 2 — Çarpışma Öncesi Toplam Momentumun (P_{\text{ilk}}) Yazılması
Başlangıçta blok durduğu için momentumu sıfırdır. Sistemin ilk momentumunu yalnızca atılan n adet bilye oluşturur:
P_{\text{ilk}} = n \cdot m \cdot v
P_{\text{ilk}} = n \cdot 0{,}1\text{ kg} \cdot 3\text{ m/s} = 0{,}3n\text{ kg}\cdot\text{m/s}
Adım 3 — Çarpışma Sonrası Toplam Momentumun (P_{\text{son}}) Yazılması
Bilyeler bloğa saplandığında toplam kütle (M + n \cdot m) olur ve sistem V_{\text{ortak}} = 2\text{ m/s} hızla hareket eder:
m_{\text{toplam}} = 1 + n \cdot 0{,}1 = 1 + 0{,}1n\text{ kg}
P_{\text{son}} = m_{\text{toplam}} \cdot V_{\text{ortak}} = (1 + 0{,}1n) \cdot 2 = 2 + 0{,}2n\text{ kg}\cdot\text{m/s}
Adım 4 — Momentum Eşitliğinden Bilye Sayısının (n) Hesaplanması
P_{\text{ilk}} = P_{\text{son}}
0{,}3n = 2 + 0{,}2n
0{,}3n - 0{,}2n = 2
0{,}1n = 2
n = \frac{2}{0{,}1} = 20\text{ adet}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 20
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Esnek Olmayan Çarpışma
- Tanım: Çarpışma sonrasında cisimlerin birbirine yapışarak ortak bir hızla hareket ettiği çarpışma türüdür.
- Bu problemde: Demir bilyeler hamur bloğuna saplandığı için kütleler birleşmiş ve kinetik enerjinin bir kısmı iç enerjiye (ısı/şekil değişimi) dönüşürken momentum korunmuştur.
2. Çizgisel Momentumun Korunumu
- Tanım: Bir sisteme dışarıdan net bir kuvvet etki etmediğinde sistemin toplam momentumu sabit kalır.
- Bu problemde: Zemin sürtünmesiz olduğu için yatay doğrultudaki toplam momentum çarpışma öncesinde ve sonrasında birbirine eşitlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Son Kütleye Bilyeleri Dahil Etmemek
- Yanlış: Son momentumu sadece bloğun kütlesini alarak P_{\text{son}} = 1\text{ kg} \times 2\text{ m/s} = 2 şeklinde hesaplamak.
- Doğru: Bilyeler bloğa saplandığı için son kütle M_{\text{blok}} + n \cdot m_{\text{bilye}} = 1 + 0{,}1n olarak alınmalıdır.
- Neden yanlış: Bilyeler sistemden ayrılmamış, bloğun içine girerek toplam kütleyi artırmıştır.
Bu soruda kaybolan mekanik (kinetik) enerjinin kaç Joule olduğunu da birlikte hesaplayalım mı?