Aşağıdaki tabloda Ali, Berk, Cem ve Deniz’in boy uzunlukları arasındaki farklar cm cinsinden verilmiştir.
|
Ali |
Berk |
Cem |
Deniz |
|
6 |
13 |
|
|
|
7 |
16 |
3 |
|
|
10 |
|
|
|
| Cem en az 8 cm daha uzun olsaydı boyu Ali’den daha uzun olacaktı. |
|
|
|
|
| Buna göre $\frac{ |
b-a |
+ |
c-2a |
}{ |
| A) b-d+a |
|
|
|
|
| B) -1 |
|
|
|
|
| C) 0 |
|
|
|
|
| D) 1 |
|
|
|
|
| E) b-a+c |
|
|
|
|
Tabloya Göre İfadenin Eşitini Bulma
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Mutlak değer tanımı: |x - y|, x ve y sayıları arasındaki uzaklığı ifade eder.
- Sayı doğrusu üzerinde bir noktanın konumu: x > 0 için |x| = x ve |-x| = x.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tablodaki Farkları Mutlak Değer Olarak Yazma
Tablodaki değerler kişilerin boy uzunlukları arasındaki mutlak farkları gösterir:
- |a - b| = 6
- |a - c| = 7
- |b - c| = 13
- |a - d| = 10
- |b - d| = 16
- |c - d| = 3
Adım 2 — Cem ve Berk’in Boylarının a Cinsinden Belirlenmesi
- Ali ile Cem arasındaki fark 7\text{ cm} ve Cem en az 8\text{ cm} daha uzun olduğunda boyu Ali’den uzun olabiliyorsa, Cem Ali’den daha kısadır:
c = a - 7
- |b - c| = 13 ve |a - b| = 6 olduğuna göre Berk, Ali’nin sağında (daha uzun) yer almalıdır:
b = a + 6
(Kontrol: |b - c| = |(a + 6) - (a - 7)| = 13)
Adım 3 — Deniz’in Boyunun a Cinsinden Belirlenmesi
- |a - d| = 10, |b - d| = 16 ve |c - d| = 3 eşitliklerini sağlayacak şekilde Deniz’in konumu:
d = a - 10
(Kontrol: |b - d| = |(a + 6) - (a - 10)| = 16 ve |c - d| = |(a - 7) - (a - 10)| = 3)
Boy uzunlukları pozitif reel sayılar olduğundan d = a - 10 > 0 \implies a > 10 olur.
Adım 4 — Pay Kısmını Hesaplama
- |b - a| = |(a + 6) - a| = |6| = 6
- |d - 2a| = |(a - 10) - 2a| = |-a - 10| = |-(a + 10)|
a > 10 olduğundan a + 10 > 0 olur, dolayısıyla |-(a + 10)| = a + 10 çıkar.
- \text{Pay} = 6 + (a + 10) = a + 16
Adım 5 — Payda Kısmını Hesaplama
- a + b + c = a + (a + 6) + (a - 7) = 3a - 1
a > 10 için 3a - 1 > 0 olduğundan |a + b + c| = 3a - 1 olur.
- d + c = (a - 10) + (a - 7) = 2a - 17
a > 10 için 2a - 17 > 0 olduğundan |d + c| = 2a - 17 olur.
- \text{Payda} = (3a - 1) - (2a - 17) = 3a - 1 - 2a + 17 = a + 16
Adım 6 — Kesri Sadeleştirme
\frac{|b - a| + |d - 2a|}{|a + b + c| - |d + c|} = \frac{a + 16}{a + 16} = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sayı Doğrusunda Uzaklık Modeli
- Tanım: İki reel sayı arasındaki farkın mutlak değeri, sayı doğrusundaki geometrik uzaklıktır.
- Bu problemde: Boy sıralaması sayı doğrusuna yerleştirilerek d < c < a < b bağıntısı elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Mutlak Değer Dışına Çıkarırken İşaret Hatası
- Yanlış: |d - 2a| = |-a - 10| = -a - 10 olarak çıkarmak.
- Doğru: a > 10 için (-a - 10) negatif bir değerdir, mutlak değer dışına -(-a - 10) = a + 10 olarak çıkar.
- Neden yanlış: Mutlak değerin sonucu hiçbir zaman negatif olamaz; içerisi negatifse ifade eksi ile çarpılarak pozitife dönüştürülür.
Benzer mantıkta bir mutlak değer sıralama sorusu daha çözmemi ister misin?
