Resimdeki Raptiyeler Arasındaki Mesafe Problemi
Önemli Noktalar
- Verilen iki kare resmin kenar uzunlukları 48 cm ve 36 cm
- Karelerin etrafına eşit aralıklarla ve köşelere de gelmek şartıyla raptiyeler yerleştiriliyor
- Aradaki mesafelerin raptiyeler arasındaki eşit uzaklıklar cinsinden olması gerekiyor
- Soru, ardışık iki raptiye arasındaki mesafelerin hangisi olamaz diye soruyor
İki karenin kenarlarına eşit aralıklarla saplanan çiviler düşünüldüğünde, raptiyelerin arasındaki mesafe her iki karede de tam bölünebilen bir sayı olmalıdır. Kenar uzunluklarının ortak bölenlerine dikkat etmek gerekiyor.
İçindekiler
- Kare Kenarlarına Raptiye Sayısının Belirlenmesi
- Raptiyeler Arasındaki Eşit Aralıkların Hesaplanması
- Olmayan Mesafenin Belirlenmesi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Kare Kenarlarına Raptiye Sayısının Belirlenmesi
Bir kenar uzunluğunda eğer eşit aralıklarla ve köşelere gelecek şekilde raptiyeler yerleştiriliyorsa, raptiye sayısı en az iki köşeyle başlar ve aralarındaki boşluklar eşit olur.
Örneğin, kenar uzunluğu L cm ise ve aralıklara d cm denirse:
- Raptiye sayısı = (L / d) + 1 olur.
- Raptiye noktaları arası mesafe d cm olmalıdır.
Öncelikle 48 cm ve 36 cm için ortak raptiye aralıklarını bulmak gerekir. Burada raptiyelerin mesafeleri, hem 48’i hem 36’yı tam bölen bir sayı olmalı veya 48 ve 36’nın ortak bölenlerinin bir tam katı olmalıdır.
48 ve 36’nın ortak bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Bu aralıklar raptiyelerin arası olabilecek mesafelerdir.
Uyarı: Eğer aralık bu sayılar dışına çıkarsa, örneğin 9 cm gibi, 48 ve 36’yı tam olarak bölmezse raptiyeler eşit aralıkta olamaz.
2. Raptiyeler Arasındaki Eşit Aralıkların Hesaplanması
Raptiyeler arası mesafe sorulduğunda, iki karenin raptiye sayısı ve aralığına bakılır.
- 48 cm kenarında raptiye aralığı d ise raptiye sayısı: (48/d)+1
- 36 cm kenarında raptiye aralığı aynı d ise raptiye sayısı: (36/d)+1
Her iki sayı da tam sayı olmak zorundadır, çünkü raptiyeler fiziksel olarak köşelere ve eşit aralıklara yerleştiriliyor.
Örnek:
- d=4 cm → 48/4=12, 36/4=9 → Tam sayılar → mümkün
- d=6 cm → 48/6=8, 36/6=6 → Tam sayı → mümkün
- d=9 cm → 48/9=5.33 değil → mümkün değil
- d=12 cm → 48/12=4, 36/12=3 → tam sayı → mümkün
3. Olmayan Mesafenin Belirlenmesi
Listeyi kontrol edince:
- A) 4 cm → 48/4=12 ve 36/4=9, mümkün
- B) 6 cm → 48/6=8 ve 36/6=6, mümkün
- C) 9 cm → 48/9=5.33 ve 36/9=4, 48/9 tam sayı değil, mümkün değil
- D) 12 cm → 48/12=4 ve 36/12=3, mümkün
Buna göre 9 cm olamaz, çünkü raptiyeler eşit aralıklarda kenar uzunluklarını tam olarak bölen bir mesafede olmalıdır.
Özet Tablo
| Seçenek | 48 cm kenarında raptiye sayısı (tam mı?) | 36 cm kenarında raptiye sayısı (tam mı?) | Mümkün mü? |
|---|---|---|---|
| 4 cm | 13 (tam) | 10 (tam) | Evet |
| 6 cm | 9 (tam) | 7 (tam) | Evet |
| 9 cm | 5.33 (yamuk) | 5 (tam) | Hayır |
| 12 cm | 5 (tam) | 4 (tam) | Evet |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden raptiyeler eşit aralıkla yerleştirilmeli?
Eşit aralık, estetik ve simetri açısından önemlidir. Ayrıca, sorunun matematiksel çözümü için gerekli koşuldur.
2. Kenar uzunlukları farklı olan karelerde raptiye aralığı nasıl bulunur?
Ortak bölenler üzerinden bulunur. Eğer ortak bölen yoksa eşit aralık mümkün değildir.
3. Bu problemde raptiyeler köşelere neden gelmek zorunda?
Soruda belirtildiği gibi köşelere gelmek şartı, raptiyelerin hem başlangıç ve bitiş noktalarına hem de aralara eşit aralıklarla yerleştirilmesini zorunlu kılar.
Sonraki Adımlar
Bu tür geometri ve bölünebilme problemlerinde farklı şekillerde soru çözümü için raptiye sayısının belirlenmesi tekniklerini detaylı öğrenmek ister misiniz?
Ya da bu konsepti kullanarak başka örnek sorular ve çözümler yapalım mı?
Buna Göre Ardışık İki Raptiye Arasındaki Mesafe (cm) Olamayacak Şık
Önemli Noktalar
- Eşit aralıklı raptiye yerleştirme, her bir kenar uzunluğunun raptiye aralığına tam bölünmesini ve köşelerde raptiye bulunmasını gerektirir.
- Karenin kenar uzunluğu 48 cm ve 36 cm. Aralık d ise 48 ve $36$’nın ortak böleni olmalıdır.
- \gcd(48,36)=12 olduğundan ortak bölenler $1,2,3,4,6,12$’dir.
Cevap: 9
İçindekiler
Çözüm Özeti
Her bir kare için raptiyeler, kenar boyunca eşit aralıklarla yerleştirilir ve köşelere de denk gelmelidir. Bu koşul, kenar uzunluğunun aralığa tam bölünmesi demektir. 48 cm ve 36 cm’lik karelerde ortak bölünebilir aralıklar ancak ortak bölenler arasındadır: 1,2,3,4,6,12. Seçeneklerdeki 9, bu şartı sağlamadığından cevap C) 9’dur.
Detaylı Açıklama
- Bir kenar uzunluğu L olan karede, nokta aralığı d ise L/d tam sayı olmalıdır.
- Köşelerde raptiye olacağı için her kenar d aralığına bölündüğünde kesintisiz bir yerleşim elde edilir.
- İki karede de aynı d değeri kullanılacaksa $d$’nin hem 48 hem de $36$’yı tam bölmesi gerekir.
- Ortak bölenler kümesi:\gcd(48,36)=12 \quad\Rightarrow\quad \{1,2,3,4,6,12\}.
- Seçeneklerde:
- 4, 6, 12 bu kümede var.
- 9 ise ne $48$’i ne de $36$’yı tam bölüyor.
Karşılaştırmalı Tablo
| Aralık d (cm) | 48 cm Kare Bölünebilir mi? | 36 cm Kare Bölünebilir mi? |
|---|---|---|
| 4 | Evet | Evet |
| 6 | Evet | Evet |
| 9 | Hayır | Hayır |
| 12 | Evet | Evet |
Özet Tablosu
| Ortak Bölenler | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|
Seçenekler arasında sadece 9, ortak bölenler arasında yer almadığından geçerli olamaz.
SSS
S1: Niçin sadece kenar uzunluğu bölünebilirliği yeterli değil?
C1: Köşelerde raptiye olması, her bir kenardaki aralık sayısının tam olması şartını getirir; aksi takdirde köşede eksik veya fazla raptiye olur.
S2: Perimetre bölünebilirliği yeterli değil midir?
C2: Perimetre $4L$’yi böldürmek yerine kenar bazlı düşünmek; köşelerde kesin raptiye olduğu için kenar uzunluğu bölünebilirliği esastır.
S3: Farklı kareler için farklı d seçilebilir mi?
C3: Soruda aynı yerleştirme koşullarında tek bir d sorulduğu için eş zamanlı geçerli olması beklenir.
S4: Başka hangi sayılar mümkün olurdu?
C4: Ortak bölenler dışındaki hiçbir pozitif tam sayı bu koşulları sağlayamaz.
Devam etmemi ister misiniz? Örnek sorularla pratiğe dönelim mi @Husamettin_Karauyh?