Yarıçapı r olan bir kürenin hacmi, bir kenarının uzunluğu a olan küpün hacminin \frac{1}{16}'sıdır.
Buna göre, \frac{a}{r} oranı kaçtır? (\pi = 3)
A) \frac{1}{16}
B) \frac{1}{4}
C) 2
D) 4
E) 16
Geometrik Cisimlerde Hacim Bağıntıları ve Küre-Küp Hacim Oranı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Yarıçapı r olan bir kürenin hacmi V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3, bir kenar uzunluğu a olan bir küpün hacmi ise V_{\text{küp}} = a^3 formülü ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kürenin Hacmini İfade Etme
Soruda \pi = 3 olarak verildiğinden kürenin hacim bağıntısında yerine yazalım:
V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot r^3 = 4r^3
Adım 2 — Küpün Hacmi ile Eşitliği Kurma
Kürenin hacmi, bir kenarı a olan küpün hacminin (a^3) \frac{1}{16}'sına eşittir:
4r^3 = \frac{1}{16} \cdot a^3
Adım 3 — \frac{a}{r} Oranını Bulma
Eşitliğin her iki tarafını 16 ile çarparak küp kökünü alalım:
64r^3 = a^3 \implies (4r)^3 = a^3 \implies a = 4r
\frac{a}{r} = 4
CEVAP: D) 4 \left(\frac{a}{r} = 4\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Hacim formüllerinde üçüncü dereceden kuvvetler (r^3 ve a^3) yer aldığından, katsayıları düzenledikten sonra her iki tarafın küpkökünü alarak doğrusal uzunluk oranına (\frac{a}{r}) hızlıca ulaşabilirsiniz. Oranın \frac{r}{a} değil, \frac{a}{r} olarak sorulduğuna dikkat edilmelidir.