Aşağıda verilen kare, ardışık iki tam sayı arası 1 cm ve 0 ile 1 arası dört eş parçaya, 0 ile 1 arası iki eş par- çaya bölünmüş sayı doğrusu üzerine şekildeki gibi yer- leştirilmiştir.
Bu kare sayı doğrusu üzerinde ok yönünde döndürü- lüyor. A noktası sayı doğrusuna ilk defa temas ettiği anda döndürme işlemi durduruluyor.
Buna göre A noktasının sayı doğrusu üzerinde ta- mes ettiği noktaya karşılık gelen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi aşağıdakilerden han- gisidir?
A) -\frac{1}{4}
B) -1
C) \frac{3}{4}
D) \frac{7}{4}
Sayı Doğrusu Üzerinde Döndürülen Karenin A Noktasının Değeri ve Toplama İşlemine Göre Tersi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İki Nokta Arasındaki Uzaklık: Uzakl\imath k = \text{Sağdaki Nokta} - \text{Soldaki Nokta}
- Öteleme / Temas Noktası: Yeni\ Konum = \text{Dönme Noktası} + \text{Kenar Uzunluğu}
- Toplama İşlemine Göre Ters: Bir x rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi -x’tir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayı Doğrusundaki Parça Değerlerini ve Köşe Noktalarını Belirleme
- -1 ile 0 arası 4 eş parçaya bölündüğü için her bir aralık \frac{1}{4}\text{ cm}'dir.
Karenin sol alt köşesi -1’in bir birim sağındaki ilk çizgide, yani -\frac{3}{4} noktasındadır. - 0 ile 1 arası 2 eş parçaya bölündüğü için her bir aralık \frac{1}{2}\text{ cm}'dir.
Karenin sağ alt köşesi 0 ile 1’in tam ortasında, yani \frac{1}{2} noktasındadır.
Adım 2 — Karenin Kenar Uzunluğunu Hesaplama
Karenin alt kenarı sayı doğrusu üzerindedir. İki köşe arasındaki fark bir kenar uzunluğunu verir:
\text{Kenar Uzunluğu} = \frac{1}{2} - \left(-\frac{3}{4}\right)
\text{Kenar Uzunluğu} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\text{ cm}
Adım 3 — A Noktasının Sayı Doğrusuna Temas Ettiği Noktayı Bulma
- Kare sağa doğru (ok yönünde) 90^\circ devrildiğinde, sağ alt köşe olan \frac{1}{2} noktası etrafında döner.
- Sağ kenar (sağ alt köşe ile A noktası arası) sayı doğrusunun üzerine yatacaktır.
- Bu durumda A noktası ilk defa sayı doğrusuna \frac{1}{2} noktasının bir kenar boyu (\frac{5}{4}\text{ cm}) sağında temas eder:
\text{Temas Noktası} = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} = \frac{2}{4} + \frac{5}{4} = \frac{7}{4}
Adım 4 — Temas Eden Rasyonel Sayının Toplama İşlemine Göre Tersini Alma
- A noktasının temas ettiği rasyonel sayı \frac{7}{4}'tür.
- Bir sayının toplama işlemine göre tersi işaretinin değişmesidir:
- \left(\frac{7}{4}\right) = -\frac{7}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -\frac{7}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sayı Doğrusunda Eş Parçalar
- Tanım: Ardışık iki tam sayı arası n eş parçaya bölündüğünde ardışık her çizgi arası \frac{1}{n} birim olur.
- Bu problemde: -1 ile 0 arası \frac{1}{4}'lük, 0 ile 1 arası \frac{1}{2}'lik adımlarla ifade edilmiştir.
2. Toplama İşlemine Göre Ters Eleman
- Tanım: Toplamları 0 (etkisiz eleman) olan iki sayı birbirinin toplama işlemine göre tersidir.
- Bu problemde: \frac{7}{4} + \left(-\frac{7}{4}\right) = 0 olduğu için \frac{7}{4}'ün tersi -\frac{7}{4}'tür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Çeldiriciye Düşüp D Seçeneğini İşaretlemek
- Yanlış: A noktasının temas ettiği nokta \frac{7}{4} bulunduğu an doğrudan D şıkkını işaretlemek.
- Doğru: Sorunun kökünde istenen “toplama işlemine göre tersi” ifadesini dikkate alarak işaretini -\frac{7}{4} olarak değiştirmek.
- Neden yanlış: D şıkkı temas noktasının kendisidir, işlemin sonucunun tersi değildir.
Benzer tipte bir rasyonel sayı ve sayı doğrusu döndürme sorusu daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?