- a, b, cardışık tam sayılar vera >b>colmak űzere,
eşitliği veriliyor.
Buna göre, a + c toplamı aşağıdakilerden hangisine
eşit olabilir?
A) 12
B) 13
c) 14
D) 15
E) 16
a, b, c ardışık tam sayılar olmak üzere a+c toplamı kaç olabilir?
KULLANILAN FORMÜL:
Ardışık tam sayılar için \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} kısmi kesirlere ayırma yöntemi ve genel rasyonel sayılarda toplama.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Eşitliği Yazma ve Kısmi Kesirlere Ayırma
Problemde verilen eşitlik:
\frac{1}{a \cdot b} + \frac{1}{a \cdot c} + \frac{1}{b \cdot c} = \frac{1}{16}
Ardışık tam sayılar a > b > c olduğu için b = a-1 ve c = a-2 olarak yazılabilir. Bu değerleri eşitlikte yerine koyalım:
\frac{1}{a(a-1)} + \frac{1}{a(a-2)} + \frac{1}{(a-1)(a-2)} = \frac{1}{16}
Bu kesirleri ortak paydada (a(a-1)(a-2)) birleştirmek yerine, her bir terimin payını ortak paydaya genişleterek toplayalım. Ortak payda a \cdot b \cdot c olsun.
\frac{c}{a \cdot b \cdot c} + \frac{b}{a \cdot b \cdot c} + \frac{a}{a \cdot b \cdot c} = \frac{1}{16}
Payları topladığımızda:
\frac{a+b+c}{a \cdot b \cdot c} = \frac{1}{16}
Adım 2 — a, b, c Değerlerini Yerine Koyma
b = a-1 ve c = a-2 olduğu için a+b+c = a + (a-1) + (a-2) = 3a-3.
a \cdot b \cdot c = a(a-1)(a-2).
Eşitliği yeniden yazalım:
\frac{3a-3}{a(a-1)(a-2)} = \frac{1}{16}
Adım 3 — Sadeleştirme
Pay kısmını 3(a-1) olarak yazabiliriz.
\frac{3(a-1)}{a(a-1)(a-2)} = \frac{1}{16}
(a-1) terimleri sadeleşir (burada a \neq 1 ve b \neq 0 olduğu varsayılır, ki a>b>c tam sayılar için sağlanır).
\frac{3}{a(a-2)} = \frac{1}{16}
Adım 4 — a Değerini Bulma
İçler dışlar çarpımı yapalım:
3 \times 16 = a(a-2)
48 = a^2 - 2a
Denklemi düzenleyelim:
a^2 - 2a - 48 = 0
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayıralım:
(a-8)(a+6) = 0
Buradan a=8 veya a=-6 bulunur.
Problemin başında a > b > c ve bunların ardışık tam sayılar olduğu belirtilmişti. a=8 alırsak:
a = 8
b = a-1 = 7
c = a-2 = 6
Bu durumda 8 > 7 > 6 koşulu sağlanır.
Eğer a=-6 alırsak:
a = -6
b = a-1 = -7
c = a-2 = -8
Bu durumda da -6 > -7 > -8 koşulu sağlanır.
Adım 5 — a+c Toplamını Hesaplama
Eğer a=8 ise:
a+c = 8+6 = 14
Eğer a=-6 ise:
a+c = -6+(-8) = -14
Şıklara baktığımızda sadece 14 seçeneği mevcuttur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ardışık Tam Sayılar
- Tanım: Birbirini takip eden, aralarındaki farkın 1 olduğu tam sayılardır. Örneğin, n, n+1, n+2 veya n, n-1, n-2.
- Bu problemde: a > b > c koşulu altında b = a-1 ve c = a-2 ilişkisini kurarak denklem sadeleştirildi.
2. Rasyonel Denklemler ve Kısmi Kesirlere Ayırma
- Tanım: İçinde bilinmeyenli rasyonel ifadeler içeren denklemlerdir. Kısmi kesirlere ayırma, karmaşık kesirleri daha basit kesirlerin toplamı veya farkı şeklinde yazmaya yarayan bir tekniktir.
- Bu problemde: Paydaları eşitleyerek \frac{a+b+c}{a \cdot b \cdot c} formuna getirildi ve bu da denklemi çözülebilir hale getirdi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Paydaları Yanlış Eşitlemek
- Yanlış: Paydaları birbiriyle çarpmak yerine, sadece en küçük ortak katı düşünmeden hatalı genişletmeler yapmak.
- Doğru: Paydaları a \cdot b \cdot c ortak paydasında birleştirerek her bir kesri doğru şekilde genişletmek.
- Neden yanlış: Denklem karmaşıklaşır ve sadeleştirme imkanı kaybolur.
Sadeleştirmeyi Unutmak
- Yanlış: \frac{3(a-1)}{a(a-1)(a-2)} ifadesindeki (a-1) çarpanını sadeleştirmemektir.
- Doğru: Ortak çarpanları sadeleştirerek denklemi basitleştirmek.
- Neden yanlış: Denklem daha yüksek dereceli kalır ve çözümü zorlaştırır veya hatalı çözüme yol açar.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir practice problemi çözmemi ister misin?