\sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{54}, \sqrt{72} ve \sqrt{75} sayılarından dördü, her kutuya farklı bir sayı gelecek biçimde aşağıdaki kutuların içine yazıldığında A ve B birer tam sayı olmaktadır.
Buna göre, A + B toplamının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 21
B) 36
C) 48
D) 54
E) 63
\sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{54}, \sqrt{72} ve \sqrt{75} Sayılarıyla İşlemler ve A+B Toplamının Değerleri
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Köklü Sayıları a\sqrt{b} Biçiminde Yazma: \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}
- Köklü Sayılarda Çarpma: a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{x} = a \cdot b \cdot x (Kök içleri aynı olduğunda sonuç rasyonel / tam sayı olur.)
- Köklü Sayılarda Bölme: \frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{x}} = \frac{a}{b}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Köklü Sayıları En Sade Haliyle (a\sqrt{b}) Yazalım
- \sqrt{6} = \sqrt{6}
- \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}
- \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}
- \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}
- \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}
Adım 2 — Kullanılacak Sayı Dörtlüsünü Belirleyelim
Çarpma ve bölme işlemlerinin sonucunun (A ve B) birer tam sayı olması için aynı kök kökenine sahip sayıların eşleşmesi gerekir:
- \sqrt{6} köküne sahip olanlar: \sqrt{6} ve 3\sqrt{6}
- \sqrt{2} köküne sahip olanlar: 2\sqrt{2} ve 6\sqrt{2}
- \sqrt{3} köküne sahip olan: 5\sqrt{3} (Tek başına kaldığı için başka bir sayıyla tam sayı oluşturamaz.)
Bu nedenle 5\sqrt{3} yani \sqrt{75} sayısı dışarıda kalır. Kullanılacak sayılar: \sqrt{6}, 3\sqrt{6}, 2\sqrt{2}, 6\sqrt{2} olur.
Adım 3 — 1. Durum: A İçin \sqrt{6} Grubu, B İçin \sqrt{2} Grubu
-
Çarpma İşlemi (A):
A = \sqrt{6} \cdot 3\sqrt{6} = 3 \cdot 6 = 18 -
Bölme İşlemi (B):
B tam sayı olacağı için büyük sayıyı küçük sayıya böleriz:B = \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 3 -
1. Toplam:
A + B = 18 + 3 = 21
Adım 4 — 2. Durum: A İçin \sqrt{2} Grubu, B İçin \sqrt{6} Grubu
-
Çarpma İşlemi (A):
A = 2\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = 12 \cdot 2 = 24 -
Bölme İşlemi (B):
B tam sayı olacağı için büyük sayıyı küçük sayıya böleriz:B = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 3 -
2. Toplam:
A + B = 24 + 3 = 27
Adım 5 — A+B Toplamının Alabileceği Değerlerin Toplamını Bulalım
21 + 27 = 48
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (48)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İrrasyonel Sayılarda Tam Sayı Elde Etme
- Tanım: İki irrasyonel sayının çarpımı veya bölümünün rasyonel/tam sayı olabilmesi için kök derecelerinin ve kök içindeki asal çarpan kuvvetlerinin tam sayı oluşturacak şekilde eşleşmesi gerekir.
- Bu problemde: Kök içi \sqrt{6} olan sayılar kendi arasında, kök içi \sqrt{2} olan sayılar kendi arasında gruplandırılarak tam sayı değerleri üretilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Bölme Sırasını Karıştırmak
- Yanlış: B = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{6}} = \frac{1}{3} değerini alıp B’yi kesirli kabul etmek.
- Doğru: Soruda B’nin tam sayı olduğu belirtildiği için bölme işlemi büyük terimin küçük terime bölünmesiyle \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 3 şeklinde yapılmalıdır.
- Neden yanlış: Kesirli sayılar tam sayı kümesine ait değildir.
Benzer bir köklü sayı kutu yerleştirme sorusu daha çözerek pratik yapmak ister misin?