YmixsOrijinal
8. Ya +2)ve (b +3) aralarında asal sayılar olmak Üzere,
((a +2)-(b +
3)36
eşitliği veriliyor.
Buna göre, a -b çarpiminin en küçük değeri kaçtır?
A)3
B) 6
Co2)
C)0
Cb+3)
D) -68
E) -36
-8,8
KAZANIM
(a + 2) ve (b + 3) Aralarında Asal Sayılar İçin a \cdot b Çarpımının En Küçük Değeri
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Aralarında Asal Sayılar: 1’den başka pozitif ortak böleni (EBOB) olmayan pozitif tam sayılardır. \text{EBOB}(x, y) = 1 olmalıdır.
- 36 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali: 36 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9’dur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çarpımları 36 Olan ve Aralarında Asal Olan Sayı Çiftlerini Belirleme
(a + 2) ve (b + 3) sayılarının çarpımı 36 olduğuna ve bu sayılar aralarında asal olduğuna göre, 36’nın aralarında asal pozitif çarpan çiftleri (x, y) şunlardır:
- (a + 2, b + 3) = (1, 36)
- (a + 2, b + 3) = (36, 1)
- (a + 2, b + 3) = (4, 9)
- (a + 2, b + 3) = (9, 4)
(Not: (2, 18) ve (6, 6) gibi çiftler ortak bölenleri 1’den büyük olduğu için aralarında asal değildir.)
Adım 2 — Her Durum İçin a ve b Değerlerini Hesaplama
-
1. Durum:
- a + 2 = 1 \implies a = -1
- b + 3 = 36 \implies b = 33
- a \cdot b = (-1) \cdot 33 = -33
-
2. Durum:
- a + 2 = 36 \implies a = 34
- b + 3 = 1 \implies b = -2
- a \cdot b = 34 \cdot (-2) = -68
-
3. Durum:
- a + 2 = 4 \implies a = 2
- b + 3 = 9 \implies b = 6
- a \cdot b = 2 \cdot 6 = 12
-
4. Durum:
- a + 2 = 9 \implies a = 7
- b + 3 = 4 \implies b = 1
- a \cdot b = 7 \cdot 1 = 7
Adım 3 — En Küçük Çarpım Değerini Bulma
Elde edilen a \cdot b değerleri: \{-33, -68, 12, 7\}
Bu değerler arasındaki en küçük sayı: \mathbf{-68}'dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) -68
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aralarında Asallık
- Tanım: İki veya daha fazla sayının 1’den başka pozitif ortak böleninin bulunmaması durumudur. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez (örneğin 4 ve 9 asal değildir ancak aralarında asaldır).
- Bu problemde: (a+2) ve (b+3) ifadelerinin aralarında asal olabilmesi için 36’nın asal çarpanları (2^2 ve 3^2) ortak bölünmeyecek şekilde dağıtılmıştır.
2. 1 ile Tüm Pozitif Tam Sayıların Aralarında Asallığı
- Tanım: 1 sayısı, tüm pozitif tam sayılar ile aralarında asaldır (\text{EBOB}(1, n) = 1).
- Bu problemde: (1, 36) ve (36, 1) durumlarının da geçerli birer çarpan çifti olarak alınmasını sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
a ve b’nin Pozitif Olmak Zorunda Olduğunu Düşünmek
- Yanlış: a ve b değerlerinin pozitif tam sayı olduğunu varsayıp sadece a \cdot b = 12 veya 7 sonuçlarını incelemek.
- Doğru: Soruda (a + 2) ve (b + 3) ifadelerinin aralarında asal olduğu belirtilmiştir; a ve b değişkenleri negatif tam sayı değerleri alabilir.
- Neden yanlış: Tanım parantez içindeki ifadelerin bütünü için geçerlidir, a ve b’nin işaretini sınırlandırmaz.
Benzer mantıkta çarpanlara ayırma veya aralarında asallık ile ilgili başka bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?