- a, b ve c birbirinden farkí doğal sayılar olmak üzere,
a•b =24
a•c = 36
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, a +b +c toplamının alabileceği en büyük
değer, en küçűk değerdeń kaç fazladır?
A) 41
B) 42
c) 43
D) 44
E) 45
a + b + c Toplamının En Büyük ve En Küçük Değer Analizi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
a \cdot b = 24 ve a \cdot c = 36 denklemlerinde a sayısı her iki ifadenin ortak çarpanıdır. Toplamın (a + b + c) değerini belirlemek için ortak çarpan olan a’nın alabileceği doğal sayı değerlerini (24 ve 36’nın ortak bölenlerini) incelememiz gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — En Büyük Toplamın Bulunması
Toplamın en büyük olması için sayıların birbirine en uzak seçilmesi gerekir. Bu durumda ortak çarpan olan a değerini en küçük tutmalıyız.
- a, b, c birbirinden farklı doğal sayılar olduğu için a = 1 seçelim.
- 1 \cdot b = 24 \implies b = 24
- 1 \cdot c = 36 \implies c = 36
- Sayılar: a=1, b=24, c=36 (Hepsi birbirinden farklıdır).
- En Büyük Toplam: 1 + 24 + 36 = 61
Adım 2 — En Küçük Toplamın Bulunması
Toplamın en küçük olması için sayıların birbirine en yakın seçilmesi gerekir. Bu durumda ortak çarpan olan a değerini en büyük (24 ve 36’nın en büyük ortak böleni) seçmeliyiz.
- EBOB(24, 36) = 12 olduğundan a = 12 seçelim.
- 12 \cdot b = 24 \implies b = 2\$
- 12 \cdot c = 36 \implies c = 3\$
- Sayılar: a=12, b=2, c=3 (Hepsi birbirinden farklıdır).
- En Küçük Toplam: 12 + 2 + 3 = 17
Adım 3 — Farkın Hesaplanması
Soru bizden en büyük değerin en küçük değerden kaç fazla olduğunu istemektedir.
- 61 - 17 = 44
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 44
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Çarpan
- Tanım: İki veya daha fazla sayıyı kalansız bölen sayıdır.
- Bu problemde: a sayısı hem 24’ün hem de 36’nın böleni olmak zorundadır.
2. Doğal Sayılar Kümesi
- Tanım: \{0, 1, 2, 3, ...\} şeklinde devam eden sayılardır.
- Bu problemde: Çarpımları pozitif olduğu için a, b, c sayıları pozitif doğal sayılardır.
SIK YAPILAN HATALAR:
“Birbirinden Farklı” Şartını Unutmak
- Yanlış: Eğer a=6 seçilirse, b=4 ve c=6 olur. Bu durumda a ve c aynı sayı olur, ancak soruda sayıların farklı olması istenmiştir.
- Doğru: Her zaman bulduğunuz a, b, c değerlerinin birbirinden farklı olup olmadığını kontrol edin.
Bu tür temel matematik sorularında farklı kısıtlamalar (örneğin tam sayılar denilmesi) sonucu nasıl değiştirir, merak eder misin?