Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog) (x+3) ve (gof) (2x+1) fonksiyonlarının grafikleri dik koordinat düzleminde verilmiştir.
Buna göre, \frac{4 dot f(-1) + 2f(7)}{f(8) - f(24)} ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
B) \frac{9}{4}
C) \frac{5}{2}
D) 3
E) \frac{7}{2}
Bileşke Fonksiyon Grafiği Yardımıyla İfadenin Değerini Bulma
KULLANILAN KURALLAR VE FORMÜLLER:
-
Bileşke Fonksiyon Tanımı:
(f \circ g)(x) = f(g(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) -
Verilen Doğrusal Fonksiyon:
g(x) = 4x
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyon İfadelerinin Düzenlenmesi
Verilen g(x) = 4x kuralını bileşke fonksiyonlarda yerine yazalım:
- (f \circ g)(x+3) = f(g(x+3)) = f(4(x+3)) = f(4x+12)
- (g \circ f)(2x+1) = g(f(2x+1)) = 4 \cdot f(2x+1)
Adım 2 — x = -1 Değeri İçin Grafik Değerlerinin Okunması
Grafikte x = -1 apsisli noktadaki değerleri inceleyelim:
- (f \circ g)(-1+3) = f(4(-1)+12) = f(8) = 2
- (g \circ f)(2(-1)+1) = 4 \cdot f(-1) = 1 \implies f(-1) = \frac{1}{4}
Buradan:
4 \cdot f(-1) = 1
Adım 3 — x = 3 Değeri İçin Grafik Değerlerinin Okunması
Grafikte x = 3 apsisli noktadaki değerleri inceleyelim:
- (f \circ g)(3+3) = f(4(3)+12) = f(24) = 1
- (g \circ f)(2(3)+1) = 4 \cdot f(7) = 2 \implies 2 \cdot f(7) = 1
Adım 4 — İstenen İfadenin Hesaplanması
Bulunan değerleri soruda istenen kesirde yerine yazalım:
\frac{4 \cdot f(-1) + 2f(7)}{f(8) - f(24)} = \frac{1 + 1}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi
- Tanım: Bir fonksiyonun çıktısının diğer fonksiyonun girdisi olarak kullanılması işlemidir.
- Bu problemde: (g \circ f)(2x+1) ifadesinde g fonksiyonu içine f(2x+1) yazılarak 4 \cdot f(2x+1) elde edilmiştir.
2. Grafik Okuma ve Değer Eşleme
- Tanım: Grafikte verilen eğrilerin belirli apsis (x) değerlerindeki ordinat (y) karşılıklarının doğru tespit edilmesidir.
- Bu problemde: x = -1 ve x = 3 noktalarında her iki fonksiyonun aldığı 1 ve 2 değerleri eşleştirilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Grafikteki x Değerini Direkt İstenen f Değeri Sanmak
- Hatalı: x = -1 noktasını doğrudan f(-1) = 2 veya f(-1) = 1 olarak almak.
- Doğru: Grafiğin y = (g \circ f)(2x+1) fonksiyonuna ait olduğunu hatırlayıp x = -1 yazıldığında 4 \cdot f(-1) değerine ulaşıldığını görmek.
- Neden yanlış: Grafiğin eksenleri f(x) fonksiyonuna değil, ötelenmiş ve bileşkesi alınmış fonksiyonlara aittir.
Bileşke fonksiyon grafik sorularında benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
Fonksiyon Grafikleri ve Bileşke Fonksiyon Yardımıyla İfadenin Değerini Bulma
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Bileşke Fonksiyon Tanımı: (f \circ g)(x) = f(g(x)) ve (g \circ f)(x) = g(f(x))
- Doğrusal Fonksiyonda Değer Bulma: g(x) = 4x olduğundan g(a) = 4a ve g(f(x)) = 4 \cdot f(x) eşitlikleri kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafiği Verilen Bileşke Fonksiyonları Açık Biçimde Yazma
g(x) = 4x olarak verilmiştir. Grafikteki fonksiyon kurallarını f ve g cinsinden düzenleyelim:
- Kırmızı grafik: (f \circ g)(x+3) = f(g(x+3)) = f(4(x+3)) = f(4x+12)
- Mavi grafik: (g \circ f)(2x+1) = g(f(2x+1)) = 4 \cdot f(2x+1)
Adım 2 — İstenen f(-1) ve f(7) Değerlerini Mavi Grafikten Elde Etme
Mavi grafik y = 4 \cdot f(2x+1) fonksiyonunu göstermektedir:
- 4 \cdot f(-1) için 2x + 1 = -1 \implies x = -1 alınır.
Grafikten x = -1 için mavi fonksiyonun değeri 1’dir:4 \cdot f(-1) = 1 - f(7) için 2x + 1 = 7 \implies x = 3 alınır.
Grafikten x = 3 için mavi fonksiyonun değeri 2’dir:4 \cdot f(7) = 2 \implies 2 \cdot f(7) = 1
Buradan pay kısmı:
4 \cdot f(-1) + 2f(7) = 1 + 1 = 2
Adım 3 — İstenen f(8) ve f(24) Değerlerini Kırmızı Grafikten Elde Etme
Kırmızı grafik y = f(4x+12) fonksiyonunu göstermektedir:
- f(8) için 4x + 12 = 8 \implies 4x = -4 \implies x = -1 alınır.
Grafikten x = -1 için kırmızı fonksiyonun değeri 2’dir:f(8) = 2 - f(24) için 4x + 12 = 24 \implies 4x = 12 \implies x = 3 alınır.
Grafikten x = 3 için kırmızı fonksiyonun değeri 1’dir:f(24) = 1
Buradan payda kısmı:
f(8) - f(24) = 2 - 1 = 1
Adım 4 — İfadenin Sonucunu Hesaplama
Bulunan değerleri kesirde yerine yazalım:
\frac{4 \cdot f(-1) + 2f(7)}{f(8) - f(24)} = \frac{2}{1} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
**TEMEL