Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları için (fog)(x + 3) ve (gof)(2x + 1) fonksiyonları grafik- leri dik koordinat düzleminde verilmiştir.
Buna göre, \frac{4 dot f(-1) + 2f(7)}{f(8) - f(24)} ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2
B) \frac{9}{4}
C) \frac{5}{2}
D) 3
E) \frac{7}{2}
Fonksiyon Grafikleri ve Bileşke Fonksiyon Değeri Bulma
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Bileşke fonksiyon tanımı: (f \circ g)(x) = f(g(x)) ve (g \circ f)(x) = g(f(x))
- g(x) = 4x kuralının bileşke fonksiyonlara uygulanması:(f \circ g)(x + 3) = f(g(x + 3)) = f(4(x + 3)) = f(4x + 12)(g \circ f)(2x + 1) = g(f(2x + 1)) = 4 \cdot f(2x + 1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafikten x = -1 Değerlerini Belirleme
- Kırmızı grafik (f \circ g)(x + 3) için x = -1 noktasındaki ordinat y = 2’dir:f(4(-1) + 12) = 2 \implies f(8) = 2
- Mavi grafik (g \circ f)(2x + 1) için x = -1 noktasındaki ordinat y = 1’dir:4 \cdot f(2(-1) + 1) = 1 \implies 4 \cdot f(-1) = 1
Adım 2 — Grafikten x = 3 Değerlerini Belirleme
- Kırmızı grafik (f \circ g)(x + 3) için x = 3 noktasındaki ordinat y = 1’dir:f(4(3) + 12) = 1 \implies f(24) = 1
- Mavi grafik (g \circ f)(2x + 1) için x = 3 noktasındaki ordinat y = 2’dir:4 \cdot f(2(3) + 1) = 2 \implies 4 \cdot f(7) = 2 \implies 2 \cdot f(7) = 1
Adım 3 — İstenen İfadeyi Hesaplama
Bulunan değerleri soruda verilen kesirde yerine yazalım:
\frac{4 \cdot f(-1) + 2f(7)}{f(8) - f(24)} = \frac{1 + 1}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bileşke Fonksiyon İç İçe Yazımı
- Tanım: (f \circ g)(x), g fonksiyonunun çıktısının f’ye girdi olarak verilmesidir.
- Bu problemde: g(x) = 4x olduğu için (f \circ g)(x+3) ifadesi doğrudan f(4x+12) biçimine dönüştürülerek f(8) ve f(24) değerlerine ulaşılmıştır.
2. Grafik Okuma ve Nokta Koordinatları
- Tanım: Bir fonksiyon grafiğinde (a, b) noktası, fonksiyonda x = a yazıldığında sonucun b olduğunu ifade eder.
- Bu problemde: x = -1 ve x = 3 düşey doğrularının kırmızı ve mavi eğrileri kestiği y değerleri doğrudan okunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Grafikteki x Değerini Fonksiyonun İçine Direkt Yazmak
- Yanlış: (f \circ g)(-1) veya f(-1) değerini grafikten doğrudan y değeri olarak almak.
- Doğru: Grafikte verilen kural (f \circ g)(x+3) olduğundan, x yerine -1 yazılarak f(g(2)) = f(8) değerinin elde edildiğini fark etmek.
- Neden yanlış: Fonksiyonun parantez içi ötelenmiş (x+3 ve 2x+1) olduğundan girdi değerleri x’e eşit değildir.
Bileşke fonksiyon grafiklerini okuma ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
daha kısaca bi çözüm istiyorum
Bileşke Fonksiyon Değeri Pratik Çözümü
KULLANILAN KURAL:
g(x) = 4x eşitliği bileşke fonksiyonlara uygulandığında:
- (f \circ g)(x+3) = f(4x+12)
- (g \circ f)(2x+1) = 4 \cdot f(2x+1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x = -1 İçin Değerleri Bulma
- Kırmızı grafikten: f(4(-1)+12) = f(8) = 2
- Mavi grafikten: 4 \cdot f(2(-1)+1) = 4 \cdot f(-1) = 1
Adım 2 — x = 3 İçin Değerleri Bulma
- Kırmızı grafikten: f(4(3)+12) = f(24) = 1
- Mavi grafikten: 4 \cdot f(2(3)+1) = 4 \cdot f(7) = 2 \implies 2 \cdot f(7) = 1
Adım 3 — İfadeleri Yerine Yazma
\frac{4 \cdot f(-1) + 2f(7)}{f(8) - f(24)} = \frac{1 + 1}{2 - 1} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Nokta Okuma Mantığı
- Tanım: x apsisi grafikteki yerine yazılır ve karşılık gelen y ordinatına eşitlenir.
- Bu problemde: x = -1 ve x = 3 değerleri doğrudan formüllerde yerine konularak istenen terimlerin tamamı tek adımda elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
4 \cdot f(7) Değerini Sadeleştirmemek
- Yanlış: 4 \cdot f(7) = 2 eşitliğinden 2 \cdot f(7) yerine f(7) = \frac{1}{2} bulup kesirli işlemlerle vakit kaybetmek.
- Doğru: Soruda doğrudan 2 \cdot f(7) istendiği için her iki tarafı 2’ye bölerek 2 \cdot f(7) = 1 yazmak.
- Neden yanlış: Çözümü uzatır ve işlem hatası riskini artırır.
Bileşke fonksiyonların grafik yorumlamasıyla ilgili benzer bir pratik soru çözmemi ister misin?