- x sayısının 9 ile bölümünden kalan 4tür.
Buna
göre, (3 + 2x) \cdot (5- x) sayısının 9 ile bölümün-
den kalan kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 8
x Sayısının 9 ile Bölümünden Kalan 4 İken (3 + 2x) \cdot (5 - x^2)^3 İfadesinin 9 ile Bölümünden Kalanı Bulma
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bölünebilme ve Kalan Aritmetiği: Bir cebirsel ifadenin bir sayıya (m) bölümünden kalanı bulmak için, değişkenin yerine doğrudan o sayının m ile bölümünden kalan değeri yazılabilir:x \equiv k \pmod m \implies P(x) \equiv P(k) \pmod m
- Negatif Kalanı Pozitif Yapma: Elde edilen negatif bir kalana bölen sayı (9) eklenerek pozitif eşdeğeri bulunur:-a \equiv -a + 9 \pmod 9
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişken Yerine Kalan Değerini Yazma
x sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğundan, ifadedeki x yerine 4 yazabiliriz (x \equiv 4 \pmod 9).
Adım 2 — Birinci Çarpanın Kalanını Hesaplama
(3 + 2x) \text{ ifadesinde } x = 4 \text{ yazalım:}
3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11
11 sayısının 9 ile bölümünden kalan:
11 = 9 \cdot 1 + 2 \implies 11 \equiv 2 \pmod 9
Adım 3 — İkinci Çarpanın Kalanını Hesaplama
Önce parantez içindeki (5 - x^2) ifadesinin kalanını bulalım:
5 - (4)^2 = 5 - 16 = -11
-11 sayısına pozitif kalan elde edene kadar 9 ekleyelim:
-11 + 9 \cdot 2 = -11 + 18 = 7 \quad (\text{veya } -2 \equiv 7 \pmod 9)
Şimdi küpünü alalım:
(5 - x^2)^3 \equiv (-2)^3 = -8 \pmod 9
-8 + 9 = 1 \pmod 9
Adım 4 — Çarpanların Kalanlarını Çarpma
İki parçanın kalanlarını birbiriyle çarpalım:
(3 + 2x) \cdot (5 - x^2)^3 \equiv 2 \cdot 1 = 2 \pmod 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kalan Aritmetiği (Modüler Aritmetik Mantığı)
- Tanım: Bir sayının kuvvetleri ve çarpımları içeren bir ifadenin kalanını bulurken, her adımda ara sonuçların kalanını almak işlemi basitleştirir.
- Bu problemde: x sayısını bulmaya çalışmak yerine doğrudan x yerine 4 yazılmış ve parantez içlerinin kalanları ayrı ayrı hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Negatif Sayılarda Kalanı Yanlış Belirleme
- Yanlış: 5 - 16 = -11 bulunduğunda kalanı doğrudan 2 veya -2 olarak bırakıp işleme devam etmek.
- Doğru: Negatif bir sonucun pozitif kalanını bulmak için bölen sayı (9) eklenmelidir: -2 + 9 = 7 veya (-2)^3 = -8 \implies -8 + 9 = 1.
- Neden yanlış: Bölme işleminde kalan her zaman 0 \le \text{Kalan} < \text{Bölen} aralığında olmalıdır.
Benzer tipte modüler aritmetik veya bölünebilme kuralları içeren bir alıştırma sorusu çözmemi ister misin?