er
15. A.B ve C birer sayma sayıSI ola zere
A+ B+C = 178
eşitliği veriliyor.
Buna göfe, A B. C çarpımında en fazla kaç tane 18
çarpanı vardır?
A) 3
B) 4
C)5
A+8+C = 198
D) 6
E)7
A + B + C = 178 eşitliğinde A \cdot B \cdot C çarpımındaki 18 çarpanı sayısı
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Bir çarpımda belirli bir çarpanın (bu soruda 18) sayısını maksimize etmek için, sayıları o çarpanın katları şeklinde seçmeliyiz. 18 = 2 \cdot 3^2 veya doğrudan 18 olarak düşünülmelidir. Sayıların toplamı sabit olduğundan, sayıları 18’in katları yaparak toplamı 178’e tamamlamalıyız.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — 18 Çarpanı Kavramını Analiz Etme
A \cdot B \cdot C çarpımında en fazla sayıda 18 çarpanı elde etmek için A, B ve C sayılarının mümkün olduğunca çok 18 çarpanı içermesi gerekir. Bir sayının içinde k tane 18 çarpanı varsa, o sayı 18^k ile tam bölünmelidir.
Adım 2 — Sayıları 18’in Katları Olarak Belirleme
Toplamları 178 olan A, B, C sayma sayılarını 18’in katları olacak şekilde seçelim:
- A = 18 \cdot k_1
- B = 18 \cdot k_2
- C = 18 \cdot k_3 şeklinde düşünülürse;
18(k_1 + k_2 + k_3) toplamı 178’e en yakın ve 178’den küçük 18’in katı olmalıdır.
178 \div 18 \approx 9,88. Yani katsayılar toplamı en fazla 9 olabilir. Ancak bu, toplamda kaç tane 18 çarpanı olduğunu doğrudan vermez, çünkü bir sayı 18^2 (324) veya daha büyük bir kuvvetini de içerebilir.
Adım 3 — Çarpan Sayısını Artırmak İçin Sayıları Düzenleme
Amacımız A \cdot B \cdot C içinde 18^n ifadesindeki n değerini büyütmektir.
178 sayısını 18’e böldüğümüzde:
178 = 18 \times 9 + 16 elde ederiz.
Bu 9 tane 18 çarpanını sayılara dağıtalım:
-
A = 18^x \cdot m_1
-
B = 18^y \cdot m_2
-
C = 18^z \cdot m_3
Toplamda x+y+z değerini en büyük yapmalıyız. Sayma sayısı oldukları için her biri en az 1 olmalıdır. -
Diyelim ki A = 18 \times 7 = 126
-
Diyelim ki B = 18 \times 1 = 18
-
Diyelim ki C = 18 \times 1 = 18
Şu ana kadar toplam: 126 + 18 + 18 = 162 etti.
Kalan miktar: 178 - 162 = 16.
Ancak A, B, C toplamı tam 178 olmalı. Kalan 16’yı sayılardan birine eklersek (örneğin C = 18 + 16 = 34), o sayının 18 çarpanı bozulur.
Adım 4 — Maksimum Çarpan İçin Deneme
18^k çarpanı demek, sayının 18 ile tam bölünmesi demektir.
- A = 18 \cdot k_1
- B = 18 \cdot k_2
- C = 178 - (A+B)
A ve B içindeki 18 çarpanlarını maksimize edelim.
Eğer A = 18^4 olsa, 18^4 = 104976 olur ki bu 178’den büyüktür. O halde sayılar 18’in yüksek kuvvetleri olamaz. Sayılar ancak 18’in katları olabilir.
A = 18 \cdot a, B = 18 \cdot b, C = 18 \cdot c olsa:
18(a+b+c) = 178 olamaz çünkü 178, 18’e tam bölünmez.
En fazla kaç tane sayı 18’in tam katı olabilir?
Eğer 2 sayı 18’in katı ise (örneğin A ve B), C sayısı 18’in katı olamaz (çünkü 178 - 18k farkı 18’e bölünmez).
Eğer A = 18 \cdot 8 = 144 ve B = 18 \cdot 1 = 18 alırsak;
C = 178 - 144 - 18 = 16 olur. Bu durumda A \cdot B \cdot C çarpımında:
A içinde bir tane 18 \times 8 var (8 = 2^3 olduğu için ek 18 gelmez), B içinde bir tane 18 var. Toplam 2 tane 18 çarpanı olur.
Ancak soruda 18 çarpanı derken 2 \cdot 3^2 asal çarpanlarının birleşiminden kaç tane 18 oluşturulabileceği kastediliyor.
178 = A+B+C
Toplamı sabit olan sayıların çarpımının içindeki asal çarpanları (2 ve 3) maksimize etmeliyiz.
A=81, B=81, C=16 (Toplam 178)
A \cdot B \cdot C = 3^4 \cdot 3^4 \cdot 2^4 = 3^8 \cdot 2^4.
18 elde etmek için her birine iki tane 3 ve bir tane 2 lazım (18 = 3^2 \cdot 2).
Burada 4 tane 2 ve 8 tane 3 var. Her bir 2’ye ikişer 3 eşlersek tam 4 tane 18 çarpanı oluşur.
Daha fazlası mümkün mü? C=18 olsa, A+B=160. A=81, B=79 olsa ek çarpan gelmez.
Eğer A=162 (yani 18 \times 9), B=15, C=1 alırsak;
A = 18^1 \times 9 = 2 \times 3^4. Buradan sadece bir tane 18 tam çıkar, kalanlar 3^2 olur.
En verimli dağılım, sayıları 18’in kuvvetlerini (özellikle 3^2 kısmını) içerecek şekilde seçmektir. A=162 seçildiğinde 162 = 18 \times 9. Bu sayıda zaten 18 çarpanı bir kez var, ancak içinde fazladan 3^2 çarpanı da var. Eğer kalan sayılardan (B ve C) bir tane “2” çarpanı bulursak, bir 18 daha elde ederiz.
A = 162 (18 \times 9)
B = 14
C = 2
Toplam: 162 + 14 + 2 = 178.
Çarpım: (18 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 2 = 18 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 = 18 \cdot 18 \cdot 14 = 18^2 \cdot 14. (Burada 2 tane var).
En iyi senaryo: A=81, B=81, C=16 demiştik.
81 \cdot 81 \cdot 16 = 3^4 \cdot 3^4 \cdot 2^4 = (3^2)^4 \cdot 2^4 = 9^4 \cdot 2^4 = 18^4.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] B) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Çarpan Sayısı
- [Tanım:] Bir sayının içinde bir çarpanın kaç kez bulunduğunu bulmak için o sayı asal çarpanlarına ayrılır.
- [Bu problemde:] 18 çarpanı için 2^1 \cdot 3^2 kombinasyonlarını saydık.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Sadece 18’in katlarını denemek
- [Yanlış:] Sadece 18, 36, 54... gibi sayıları toplamak.
- [Doğru:] 81 gibi 18’e bölünmeyen ama içinde 18’in ana bileşeni olan 3^2’yi bolca bulunduran sayıları kullanmak.
- [Neden Yanlış:] 18 çarpanı sadece bir sayıdan gelmek zorunda değildir; A’dan gelen 3^2 ile B’den gelen 2 birleşerek çarpımda bir 18 oluşturabilir.
Bu tür problemlerde toplamdaki “artık” sayıyı (178 \div 18’den kalan 16) nasıl kullandığımız sonucu belirler. Başka bir sayı kombinasyonu ile 5 tane 18 elde edip edemeyeceğimizi merak ediyor musun?