- Birim çember üzerinde A(0, 1) noktasinda
bulunan bir araç pozitif yönde 765° yol aldı-
ğında hangi noktaya varmış olur?
AJ()1 ()
Soru Fotoğrafı:
3. Birim çember üzerinde A(0, 1) noktasında bulunan bir araç pozitif yönde 765° yol aldığında hangi noktaya varmış olur?
Önce açıyı sadeleştirelim:
765^\circ = 720^\circ + 45^\circ
720^\circ tam 2 tur olduğu için başlangıç noktasına geri döner.
Yani sadece 45^\circ ilerlemeyi düşünürüz.
Başlangıç noktası: A(0,1)
Birim çemberde pozitif yönde 45^\circ ilerleyince nokta 1. bölgede olur ve koordinatlar:
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Kullanılan Temel Kavramlar:
1. Tam tur açısı
- Tanım: 360^\circ bir tam turdur.
- Bu problemde: 765^\circ içindeki 720^\circ, 2 tam tur olduğu için çıkarıldı.
2. Birim çember koordinatları
- Tanım: Bir noktadaki koordinatlar, o açının \cos ve \sin değerleridir.
- Bu problemde: 45^\circ için koordinatlar \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) yani \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) olur.
Sık Yapılan Hatalar:
765°’yi doğrudan kullanmak
- Yanlış: Açıyı sadeleştirmeden işlem yapmak.
- Doğru: 765^\circ - 720^\circ = 45^\circ almak.
- Neden yanlış: Fazla turlar son noktayı değiştirmez.
İşareti yanlış bölgeden seçmek
- Yanlış: Son noktayı 4. bölgede düşünmek.
- Doğru: 45^\circ için nokta 1. bölgededir.
- Neden yanlış: Pozitif yönde 45° ilerleyince koordinatlar ikisi de pozitiftir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Birim çember üzerindeki aracı 765° pozitif yönde hareket ettirdiğimizde varacağı noktayı bulma
Kullanılan Kural / Formül: Birim çemberde pozitif yönde ölçülen açılar 0°'den başlayarak saat yönünün tersine doğru artar. Açının bir tam turdan büyük olması durumunda, tam tur sayısı çıkarılarak (360°'lik tam tur) kalan açı bulunur. Bu kalan açı ile noktanın koordinatları (\cos \theta, \sin \theta) formülüyle bulunur.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Açıyı basitleştirme
Pozitif yönde 765° yol alınmış. 765°'yi 360° ile sadeleştirelim:
765° - 2 \times 360° = 765° - 720° = 45°
Yani, 765° açısı, 45° açısına eşdeğerdir.
Adım 2 — Başlangıç noktasını hatırlama
Başlangıç noktası A(0,1), yani birim çemberde 90° açısındaki noktadır.
Adım 3 — Yeni açıyı hesaplama
Pozitif yönde hareket 765° olmuş, basitleştirilmiş açımız 45°. Çünkü başlangıç noktası 90°, o halde toplam açı:
90° + 765° = 855°
Ama birim çemberde tam tur 360°, 855°'yi tekrar sadeleştirirsek:
855° - 2 \times 360° = 855° - 720° = 135°
Yani araç, 135° açısına denk gelen noktada konumlanır.
Adım 4 — 135° açısına karşılık gelen koordinatları bulma
Birimi çemberde açının noktası:
(\cos 135°, \sin 135°)
Trigonometrik değerler:
\cos 135° = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}
\sin 135° = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}
Yani, araç noktası
\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C şıkkı — \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Birim Çember:
- Yarıçapı 1 birim olan çemberdir.
- Köşegen noktasındaki koordinatlar trigonometrik fonksiyonların değerleriyle bulunur.
2. Açıların Modu (Modulo):
- 360°'lik açılar tam tur olarak değerlendirilir, 360° üzerindeki açılar için tam tur sayısı çıkarılır.
Sık yapılan hata:
765° doğrudan kullanmak
- 765°'yi doğrudan trigonometrik fonksiyonlara sokmak karmaşıklık yaratır.
Doğru: 765°’yi 360°’nin tam katları çıkarılarak indirgemek gerekir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konu ile ilgili başka örnek ister misin?