Levent Öğretmen, geometri dersinde etkinlik yapmak için her bir öğrencisine 40 cm uzunluğunda bir tel çubuk veriyor. Daha sonra bütün sınıftan aşağıdaki yönergeleri uygulayıp soruyu çözmelerini istiyor.
II. Büktüğünüz sağdaki yarı parçanın orta noktasını hesaplayıp yine sağda kalan parçayı pozitif yönde 90^\circ bükünüz.
IV. Son durumda çubuğun iki uç noktası arasındaki uzaklığı hesaplayınız.
Sınıftaki öğrencilerden Itır işlemleri doğru uygulayıp sorunun doğru cevabını buluyor.
Buna göre, Itır’ın söylediği cevap kaçtır?
A) 10\sqrt{2}
B) 10\sqrt{3}
C) 10\sqrt{2}-10
D) 10\sqrt{3}-10
E) 10\sqrt{3}-10\sqrt{2}
Analitik Geometri ve Vektörel Konumlandırma ile Tel Bükme Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki boyutlu düzlemde başlangıç noktasına göre yönlendirilen parçalar, trigonometrik bileşenlerine ayrılarak uç noktaların koordinatları bulunur. İki nokta A(x_1, y_1) ve B(x_2, y_2) arasındaki uzaklık ise Öklid bağıntısı olan d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} formülü ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Telin Parça Uzunluklarının Belirlenmesi
40\text{ cm} uzunluğundaki çubuk orta noktasından ikiye ayrıldığında her biri 20\text{ cm}'lik iki yarı parça oluşur. Bu parçaların da orta noktaları alındığında tel 10\text{ cm} uzunluğunda 4 eşit bölmeye ayrılmış olur. Telin ilk orta noktasını orijin M(0, 0) kabul edelim:
- Sol yarı parça: K(-10, 0) noktasından M(0, 0) noktasına kadar uzanan 10\text{ cm}'lik sabit parça ile A(-20, 0) noktasından K(-10, 0) noktasına uzanan 10\text{ cm}'lik uç parçadır.
- Sağ yarı parça: M(0, 0) noktasından başlayan 10\text{ cm}'lik parça ve devamındaki 10\text{ cm}'lik uç parçadır.
Adım 2 — Sağ Yarı Parçanın Bükülmesi ve Sağ Ucun Koordinatları
I. yönergeye göre sağ yarı parça pozitif yönde (saat yönünün tersi) 60^\circ bükülür. Bu parçanın orta noktası N olur:
N = (10 \cdot \cos 60^\circ, \, 10 \cdot \sin 60^\circ) = (5, \, 5\sqrt{3})
II. yönergeye göre N noktasındaki sağ uç parça tekrar pozitif yönde 90^\circ bükülür. Bu parçanın yatayla yaptığı toplam açı 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ olur. Telin sağ ucu B' noktasının koordinatları:
x_B = 5 + 10 \cdot \cos 150^\circ = 5 - 5\sqrt{3}
y_B = 5\sqrt{3} + 10 \cdot \sin 150^\circ = 5\sqrt{3} + 5
B'(5 - 5\sqrt{3}, \, 5 + 5\sqrt{3})
Adım 3 — Sol Yarı Parçanın Bükülmesi ve Sol Ucun Koordinatları
III. yönergeye göre K(-10, 0) noktasında bulunan sol uç parça negatif yönde (saat yönünde) 90^\circ bükülür. Orijinalde yatayda sola doğru yönelmiş olan parça, saat yönünde 90^\circ döndüğünde yukarı (+y eksenine) yönelir. Telin sol ucu A' noktasının koordinatları:
A'(-10, \, 10)
Adım 4 — İki Uç Nokta Arasındaki Uzaklığın Hesaplanması
A' ve B' noktaları arasındaki koordinat farkları:
\Delta x = (5 - 5\sqrt{3}) - (-10) = 15 - 5\sqrt{3}
\Delta y = (5 + 5\sqrt{3}) - 10 = 5\sqrt{3} - 5
Farkların kareleri toplamı:
(\Delta x)^2 = (15 - 5\sqrt{3})^2 = 225 - 150\sqrt{3} + 75 = 300 - 150\sqrt{3}
(\Delta y)^2 = (5\sqrt{3} - 5)^2 = 75 - 50\sqrt{3} + 25 = 100 - 50\sqrt{3}
d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = 400 - 200\sqrt{3} = 100(4 - 2\sqrt{3})
Her iki tarafın karekökü alındığında tam kare özdeşliğinden \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1 elde edilir:
d = \sqrt{100(4 - 2\sqrt{3})} = 10(\sqrt{3} - 1) = 10\sqrt{3} - 10\text{ cm}
CEVAP: D) 10\sqrt{3}-10
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Geometride “pozitif yön” saat yönünün tersi, “negatif yön” ise saat yönüdür. Kareköklü ifadelerde \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} biçimindeki iç içe kök açılımı (m \cdot n = b ve m + n = a iken \sqrt{m} \pm \sqrt{n}), TYT ve AYT geometri sorularında işlemleri sadeleştirmede kritik zaman kazandırır.
@Akademik_Rehber geometriden cöz
Soruyu koordinat sistemi kullanmadan, özel üçgenler ve ek çizim (geometrik yöntem) ile adım adım çözelim:
1. Parça Uzunlukları ve İkizkenar Üçgenin Oluşumu
40\text{ cm}'lik tel 10\text{ cm}'lik 4 eşit parçaya ayrılır:
- Sol parça: |AK| = 10\text{ cm} ve |KO| = 10\text{ cm}
- Sağ parça: |ON| = 10\text{ cm} ve |NB| = 10\text{ cm}
O noktası etrafında sağ kol 60^\circ yukarı büküldüğünde telin parçaları arasında:
\angle KON = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
açısı kalır.
K ve N noktalarını birleştiren bir doğru parçası çizelim:
- |KO| = |ON| = 10\text{ cm} olduğundan KON bir 30^\circ - 30^\circ - 120^\circ özel üçgenidir.
- Buradan taban uzunluğu:|KN| = 10\sqrt{3}\text{ cm}
- Taban açıları:\angle OKN = 30^\circ \quad \text{ve} \quad \angle ONK = 30^\circ
2. K ve N Köşelerindeki Açıların Tespiti
- Sol uç K noktasından 90^\circ dik büküldüğü için \angle AKO = 90^\circ idi. KN çizgisi bu dik açının 30^\circ’sini aldığı için geriye:\angle AKN = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
- Sağ uç N noktasından 90^\circ dik büküldüğü için \angle ONB = 90^\circ idi. Benzer şekilde KN çizgisi ile NB parçası arasındaki açı:\angle KNB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
3. KN Tabanına Dikme İndirme (Dikdörtgen Oluşturma)
Her iki uçtan (A ve B), aralarındaki KN doğru parçasına birer dikme indirelim:
-
A noktasından KN’ye AH \perp KN dikmesi inelim:
- AKH bir 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgeni olur (|AK| = 10\text{ cm}).
- 30^\circ’nin karşısı: |KH| = 10 \cdot \cos 60^\circ = 5\text{ cm}
- 60^\circ’nin karşısı (yükseklik): |AH| = 5\sqrt{3}\text{ cm}
-
B noktasından KN’ye BP \perp KN dikmesi inelim:
- BNP bir 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgeni olur (|NB| = 10\text{ cm}).
- 30^\circ’nin karşısı: |NP| = 10 \cdot \cos 60^\circ = 5\text{ cm}
- 60^\circ’nin karşısı (yükseklik): |BP| = 5\sqrt{3}\text{ cm}
4. Sonuç
|AH| = |BP| = 5\sqrt{3}\text{ cm} ve her iki dikme de KN doğrusunun aynı tarafına doğru çizildiğinden, AB doğru parçası KN’ye paraleldir ve ABPH bir dikdörtgendir.
Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit olduğundan:
|AB| = |HP|
|HP| uzunluğu, |KN| tabanından köşelerdeki 5\text{ cm}'lik parçaların çıkarılmasıyla bulunur:
|HP| = |KN| - |KH| - |NP|
|AB| = 10\sqrt{3} - 5 - 5 = 10\sqrt{3} - 10\text{ cm}
Doğru Cevap: D) 10\sqrt{3}-10