Bu yolda ilerleyen bir sürücü müziği her seferinde hiç yarım kalmadan (tam tur olacak şekilde) dinleyerek yolculuğu tamamlamak istiyor. Buna göre yolun toplam uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olursa, sürücü müziği son kez dinlediğinde yolun yarım kalmadan tam bitmiş olur?
A) 64 10
B) 84
C) 95
D) 106
Bu yolda ilerleyen bir sürücü, yolun sonunda müziğin tam turunu tamamlayarak bitmesini istemektedir. Yolun toplam uzunluğu 140 km ile 160 km arasında olduğu bilindiğine göre, bu yolun uzunluğu kilometre cinsinden kaç farklı doğal sayı değeri alabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Müzikli Yol Problemleri Çözümü
Görseldeki tabelada verilen bilgilere göre, müzikli yolda müziğin bir tam tur çalma uzunluğu 7\text{ km}'dir. Sürücünün müziği hiç yarım kalmadan tam tur olarak tamamlaması için yolun toplam uzunluğu 7’nin tam katı olmalıdır.
1. Soru Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\text{Toplam Yol Uzunluğu} = 7 \times k \quad (k \in \mathbb{Z}^+)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
- A Seçeneği (64\text{ km}):64 = 7 \times 9 + 164 sayısı 7’ye tam bölünmez (1\text{ km} eksik kalır).
- B Seçeneği (84\text{ km}):84 = 7 \times 1284 sayısı 7’nin tam katıdır. Müzik tam 12 tur çalar ve tam biter.
- C Seçeneği (95\text{ km}):95 = 7 \times 13 + 495 sayısı 7’ye tam bölünmez (4\text{ km} müzik yarım kalır).
- D Seçeneği (106\text{ km}):106 = 7 \times 15 + 1106 sayısı 7’ye tam bölünmez (1\text{ km} müzik yarım kalır).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 84
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. Soru Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
140 < 7k < 160 \quad (k \in \mathbb{N})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 7’nin 140 ile 160 Arasındaki Katlarını Belirleme
Yolun uzunluğu 140\text{ km} ile 160\text{ km} arasında 7’nin pozitif tam katı olmalıdır:
- k = 20 \implies 7 \times 20 = 140\text{ km} (Aralığın alt sınırında olduğu için dahil değildir)
- k = 21 \implies 7 \times 21 = \mathbf{147\text{ km}} (Aralıkta yer alır)
- k = 22 \implies 7 \times 22 = \mathbf{154\text{ km}} (Aralıkta yer alır)
- k = 23 \implies 7 \times 23 = 161\text{ km} (Aralığın üst sınırını aşar)
Adım 2 — Değer Sayısını Bulma
Şartı sağlayan doğal sayı değerleri yalnızca 147\text{ km} ve 154\text{ km} olmak üzere 2 farklı değerdir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tam Kat (Bölünebilme): Bir sürecin periyodik olarak tam tekrarlanabilmesi için toplam büyüklüğün periyot uzunluğuna kalansız bölünmesi gerekir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sınır değerleri olan 140 ve 160’ı aralığa dahil ederek 140’ı da saymak.- Doğru Yaklaşım: “Arasında” dendiğinde sınır değerler (140 ve 160) hariç tutulur.
Benzer bir bölünebilme ve periyodik durum sorusu çözmek ister misin?
@sorumatik_ai 6. sınıf olarak çöz
6. Sınıf Matematik: Doğal Sayıların Katları ile Müzikli Yol Problemi
Tabelaya baktığımızda müziğin bir tam turunun 7\text{ km} sürdüğünü görüyoruz. Müziğin hiç yarım kalmadan bitmesi için yolun uzunluğunun 7’nin tam bir katı (yani 7’ye kalansız bölünen bir sayı) olması gerekir.
1. Sorunun Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\text{Yolun Uzunluğu} = 7 \times \text{Tur Sayısı}
(Yol uzunluğu 7’ye kalansız bölünmelidir.)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Seçenekleri 7’ye Bölerek Kontrol Edelim
-
A Seçeneği (64):
64 \div 7 = 9 \quad (\text{Kalan } 1)64 sayısı 7’ye tam bölünmez, 1\text{ km} artar.
-
B Seçeneği (84):
84 \div 7 = 12 \quad (\text{Kalan } 0)84 sayısı 7’ye kalansız bölünür. Müzik tam 12 tur çalar ve tam yolun sonunda biter.
-
C Seçeneği (95):
95 \div 7 = 13 \quad (\text{Kalan } 4)95 sayısı 7’ye tam bölünmez, 4\text{ km} artar.
-
D Seçeneği (106):
106 \div 7 = 15 \quad (\text{Kalan } 1)106 sayısı 7’ye tam bölünmez, 1\text{ km} artar.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 84
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. Sorunun Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
140 < 7\text{'nin Katları} < 160
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 140 ile 160 Arasındaki 7’nin Katlarını Bulalım
7’nin katlarını ritmik sayarak veya çarparak ilerleyelim:
- 7 \times 20 = 140 (Soru “arasında” dediği için 140 sınır değerdir, dahil edilmez)
- 7 \times 21 = \mathbf{147} (Aralıktadır)
- 7 \times 22 = \mathbf{154} (Aralıktadır)
- 7 \times 23 = 161 (160’ı geçtiği için aralık dışındadır)
Adım 2 — Değerleri Sayalım
Şartı sağlayan değerler sadece 147 ve 154 olmak üzere 2 tanedir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bir Sayının Katı: Bir doğal sayının 1, 2, 3, 4\dots gibi sayma sayılarıyla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: “140 ile 160 arasında” dendiğinde 140’ı da çözüme dahil etmek.
- Doğru Yaklaşım: “Arasında” ifadesi kullanıldığında sınırda duran sayılar sayılmaz, sadece aralarında kalan sayılar alınır.
Konuyu daha iyi pekiştirmek için 7’nin katları ile ilgili benzer bir alıştırma sorusu daha çözmek ister misin?