Süperpozisyon Yöntemi ile i_o Akımını Bulma
Soru Özeti: Şekildeki devrede verilen süperpozisyon teoremini kullanarak i_o akımını bulunuz. Her bir kaynak ayrı ayrı göz önüne alınarak çözüm yapılmalıdır ve sonuçların toplamı nihai çözümü verecektir.
Süperpozisyon Teoremi Nedir?
Süperpozisyon teoremi, doğrusal devrelerde her bir bağımsız kaynağın bir etkisini ayrı ayrı dikkate alarak çözüm yapmayı sağlar. Her bir kaynak aktifken diğer kaynaklar pasif eleman olarak düşünülür:
- Gerilim kaynakları: Bir kısa devre ile değiştirilir (gerilim = 0V).
- Akım kaynakları: Bir açık devre ile değiştirilir (akım = 0A).
Sonuçta her bir kaynağın etkisi ayrı ayrı hesaplanır ve toplamları alınır.
Devreye Uygulanacak Süperpozisyon Adımları
Devrede üç kaynak var:
- Sinüsoidal gerilim kaynağı: 10\sin(t - 30^\circ) V
- Sabit gerilim kaynağı: 24 V
- Sinüsoidal akım kaynağı: 2\cos(3t) A
Bu durumda çözüm adımları aşağıdaki gibidir:
Adım 1: İlk Kaynak Aktifken (Diğer Kaynaklar Pasif)
Aktif Kaynak: 10\sin(t - 30^\circ) V Sinüs dalgası
Devredeki Durum:
- 24V gerilim kaynağı: Kısa devre yapılır.
- 2\cos(3t) akım kaynağı: Açık devre yapılır.
Bu durumda devre yalnızca 10\sin(t - 30^\circ) gerilimini ve diğer elemanları içerir. Devrenin çözümü Frekans Alanında yapılmalıdır. Elemanlardan her biri kompleks empedans kullanılarak çözülür:
-
Dirençler: Empedans doğrudan direnç değerine eşittir.
$$Z_{\text{direnç}} = R$$ -
Kapasitör: Empedans:
$$Z_C = \frac{-j}{\omega C} = \frac{-j}{1 \cdot (1/6)} = -j6 , \Omega$$ -
Bobin: Empedans:
$$Z_L = j \omega L = j \cdot 1 \cdot 2 = j2 , \Omega$$
Adım 2: İkinci Kaynak Aktifken (Diğer Kaynaklar Pasif)
Aktif Kaynak: 24V Sabit DC gerilim kaynağı
Devredeki Durum:
- 10\sin(t - 30^\circ) gerilim kaynağı: Kısa devre yapılır.
- 2\cos(3t) akım kaynağı: Açık devre yapılır.
Bu durumda devre yalnızca sabit kaynağı içerecek şekilde direnç ve empedanslarla çözülür. Kapasitör DC’de açık devre, bobin ise kısa devre olarak alınır. Sadece direnç geçerli olur.
Adım 3: Üçüncü Kaynak Aktifken (Diğer Kaynaklar Pasif)
Aktif Kaynak: 2\cos(3t) A Sinüs dalgası akım kaynağı
Devredeki Durum:
- 10\sin(t - 30^\circ) gerilim kaynağı: Kısa devre yapılır.
- 24V gerilim kaynağı: Kısa devre yapılır.
Bu durumda devre yalnızca 2\cos(3t) akımını içerir. Yine empedans hesaplamaları ile çözülür.
Sonuçların Toplanması
Her bir kaynaktan elde edilen i_o akımları vektörel (kompleks) olarak toplanır:
$$i_o = i_o^{(1)} + i_o^{(2)} + i_o^{(3)}$$
Ayrıntılı Devre Çözüm
Eğer eleman değerleri ve formüllerin uygulanması gerekir ise her adım daha spesifik analiz ile yapılabilir. Devreyi adım adım çözmeye başlayabilirim.
Süperpozisyon ile daha fazla matematiksel detay ister misiniz? @username
evet adım adım çözer misin
Bu soruyu süperpozisyon yöntemi ile çözebilir misin?
Answer:
Aşağıdaki adımlarda, devredeki üç kaynak (10 sin(t − 30°) V gerilim kaynağı, 24 V DC gerilim kaynağı ve 2 cos(3t) A akım kaynağı) ayrı ayrı devrede aktif iken diğerlerini devreden “sıfırlayıp” (gerilim kaynaklarını kısa devre, akım kaynaklarını açık devre yaparak) elde edilecek akımları bulup sonradan toplayacağız. Nihai hedef, i₀(t) akımını zaman domeninde (dolayısıyla her kaynak bileşeni doğrudan toplanarak) elde etmektir.
1) Süperpozisyon Yöntemine Genel Bakış
-
Kaynakları Tanımla:
- Birinci kaynak: 10 sin(t − 30°) V (AC, açısal frekans ω₁=1 rad/s olduğu anlaşılıyor).
- İkinci kaynak: 24 V (DC).
- Üçüncü kaynak: 2 cos(3t) A (AC, açısal frekans ω₂=3 rad/s).
-
Kaynakları Sıfırlama Kuralı:
- Gerilim kaynağı devreden çıkarılacaksa (sıfırlanıyorsa), kısa devre (0 V) ile değiştirilir.
- Akım kaynağı devreden çıkarılacaksa (sıfırlanıyorsa), açık devre (0 A) ile değiştirilir.
-
Takip Edilecek Yol:
- Devrede sadece birinci kaynak (10 sin(t − 30°) V) aktifken i₀₁(t)’i bul.
- Devrede sadece ikinci kaynak (24 V DC) aktifken i₀₂(t)’i bul.
- Devrede sadece üçüncü kaynak (2 cos(3t) A) aktifken i₀₃(t)’i bul.
- Toplam akım:
i₀(t) = i₀₁(t) + i₀₂(t) + i₀₃(t).
2) Kaynak Bazında Devre Analizleri
A) 10 sin(t − 30°) V Kaynağı Etkin, Diğerleri Sıfırlanmış
- 24 V DC gerilim kaynağı => kısa devre.
- 2 cos(3t) A akım kaynağı => açık devre.
- Artık devredeki endüktör (2 H) ve kapasitör (1/6 F) ile seri/paralel bağlı dirençleri kullanarak, f=ω/(2π)=1/(2π) Hz frekansında empedans değerlerini hesapla:
- Kondansatör empedansı:
ZC=1/(j ωC)=1/[j (1) (1/6)]=−j 6 Ω. - Endüktör empedansı:
ZL=j ωL=j (1) (2)=j 2 Ω.
- Kondansatör empedansı:
- Bu adımda, devrenin komple eşdeğer empedansını (örneğin karmaşık seri/paralel) bulup gerilim bölme, akım bölme ya da düğüm/mesh analizi (KCL veya KVL) ile i₀₁(t) bulunur.
- Fazör yöntem kullanacaksan, 10 ∠−30° V gerilimi fazör olarak değerlendir, bulduğun fazör akım I₀₁ fazörünü zaman domenine geri dönüştür:
i₀₁(t)=Re{I₀₁·e^(jωt)}.
B) 24 V DC Kaynağı Etkin, Diğerleri Sıfırlanmış
- 10 sin(t − 30°) V kaynağı => kısa devre.
- 2 cos(3t) A akım kaynağı => açık devre.
- DC rejimde, kapasitör (açık devre) ve endüktör (kısa devre) kabul edilir (uzun süre sonra oturmuş kararlı durum varsayımıyla). Dolayısıyla DC analizi için:
- Kapasitör kolu akım geçirmez.
- Endüktör ise direk kablo gibi davranır.
- Bu şekilde devrenin basitleştirilmiş halinden i₀₂ sabit akım değeri (DC) olarak bulunabilir.
C) 2 cos(3t) A Akım Kaynağı Etkin, Diğerleri Sıfırlanmış
- 10 sin(t − 30°) V kaynağı => kısa devre.
- 24 V DC kaynağı => kısa devre.
- Şimdi bu kaynağın açısal frekansı ω₂=3 rad/s’dir. Buna göre:
- Kondansatör empedansı:
ZC=1/(j ω₂C)=1/[j (3) (1/6)]=1/[j 0.5]=−j 2 Ω. - Endüktör empedansı:
ZL=j ω₂L=j (3) (2)=j 6 Ω.
- Kondansatör empedansı:
- Devrede 2 cos(3t) A akım kaynağını kullanıp yine uygun (KCL, KVL, vb.) analiz yöntemiyle i₀₃(t) bulunur. İçinden geçen akım akım bölme prensibi veya düğüm analizi ile hesaplanabilir. Sonuç, zaman ifadesi olarak i₀₃(t)=I₀₃ cos(3t+ϕ) formunda elde edilir.
3) Toplam Akımın Elde Edilmesi
Son olarak;
- i₀₁(t) ve i₀₃(t) farklı açısal frekanslara sahip sinüzoidal bileşenlerdir (biri 1 rad/s, diğeri 3 rad/s). Dolayısıyla bu iki bileşen doğrudan toplanır (farklı frekanslarda oldukları için fazörlerle birleştiremezsin, zaman alanında toplamak zorundasın).
- i₀₂(t) (DC bileşeni) de bu ifadenin “sabit” kısmı olacaktır.
Bu şekilde süperpozisyon kuralına göre her kaynağın ayrı katkısı zamansal olarak toplanmış olur. Bulacağınız nihai akım,
i₀(t)= i₀₂ + A₁ sin(t−30° + α) + A₂ cos(3t + β)
şeklinde tek bir zaman fonksiyonuna dönüşebilir (sabit + düşük frekanslı sinüzoid + yüksek frekanslı sinüzoid).
4) İpuçları ve Özet
- DC Analizi (24 V kaynağı aktifken) için, uzun süre sonra devrenin kararlı durumda olduğu varsayılır (kondansatör açık devre, endüktör kısa devre).
- AC Analizi için, her bir sinüzoidal kaynağın devre üzerindeki etkisini bulurken ilgili anahtar bileşenlerin empedanslarını ayrı ayrı hesaplamak gerekir (C ve L’nin farklı frekanslarda farklı empedans değerleri olur).
- Son aşamada zaman domeninde (doğrudan fonksiyonlar toplanarak) i₀(t) ifadesi yazılır.
Bu adımları izleyerek, her kaynaktan gelen kısmi akımları bulabilir ve i₀(t)’yi süperpozisyonla elde edebilirsiniz. Gerekli işlem detayları devre topolojisine (Hangi eleman nerede seri/paralel?) göre netleşecektir.
@username
S.2 Şekilde verilen devrede süperpozisyon teoremini kullanarak i₀ akımını elde ediniz? (25 puan)
Cevap:
Aşağıdaki çözümde, süperpozisyon teoremi aracılığıyla devredeki üç farklı kaynak (1) 10 sin(t−30°) V gerilim kaynağı, (2) 24 V doğru gerilim kaynağı ve (3) 2 cos(3t) A akım kaynağı) ayrı ayrı devrede tek başına aktif hale getirilerek analiz edilecektir. Sonrasında bu kısmi analizlerden elde edilen akımlar uygun şekilde toplanarak, istenen i_{o} akımı bulunacaktır.
1. Süperpozisyon Teoreminin Temel İlkeleri
Süperpozisyon teoremi; doğrusal bir devrede birden fazla kaynak varsa, her bir kaynağın devreye tek başına uygulanmasıyla elde edilen cevapların (gerilim veya akım) cebirsel olarak toplanması sonucunda toplam cevabı bulabileceğimizi söyler. Bu ilkeyi adım adım uygularız:
- Devredeki tüm kaynakların sayısı kadar farklı alt devre kurulur.
- İncelenen alt devrede, bakılan kaynağı etkin (aktif) bırakır, diğer bağımsız kaynakları ise kapatır (devre dışı bırakır).
- Bir gerilim kaynağını devre dışı bırakmak için onu kısa devre ile (ideal gerilim kaynağı ise) değiştirmek gerekir.
- Bir akım kaynağını devre dışı bırakmak için onu açık devre ile (ideal akım kaynağı ise) değiştirmek gerekir.
- Her alt devre için istenen akım ya da gerilim değerini hesaplarız (örneğin i_{o1}, i_{o2}, \dots).
- Devre yanıtını (bu soruda i_{o}(t) akımını) bulmak için alt devrelerden elde ettiğimiz sonuçları zaman domeninde veya uygun biçimde toplarız.
Bu problemde farklı frekanslarda çalışan kaynaklar vardır:
- 10 sin(t − 30°) V kaynağı, açısal frekansı \omega_1 = 1\, \text{rad/s} olarak kabul edilir (ifade $t$’ye dayalı olduğu için).
- 24 V doğru gerilim kaynağı (DC).
- 2 cos(3t) A kaynağı, açısal frekansı \omega_2 = 3\, \text{rad/s}.
Farklı frekanslı (ve DC) bileşenleri zaman domeninde doğrudan toplanarak nihai akımın toplam dalga biçimi elde edilir. Dolayısıyla, sonuç üç terimli bir ifade (DC, \sin(t-\dots) veya \cos(3t-\dots) şeklinde) olabilir.
2. Devredeki Elemanlar ve Frekans Bağımlı Empedanslar
Soruda görünen devredeki elemanlar ve yerleşimleri özetle şu şekildedir:
- 1 Ω direnç ve \tfrac{1}{6}\,\text{F} kapasitörü bir noktada (seri ya da paralel konumlarını şekilden okuyarak) içeren kısım.
- 2 Ω direnç.
- 24 V DC kaynağı.
- 2 H endüktör.
- 2 cos(3t) A akım kaynağı.
- 4 Ω direnç üzerinden akan i_{o}(t) akımı (istemimiz bu akım).
- 10 sin(t−30°) V kaynağı.
Görevimiz, i_{o}(t) akımını bulmak için süperpozisyonu uygulamak.
Not: AC kaynaklarla analiz yapılırken, devre kararlı hal varsayılır. Yani kapasitör ve endüktör’ün empedansları sırasıyla
[
Z_{C} = \frac{1}{j,\omega,C},
\quad
Z_{L} = j, \omega, L
]
şeklinde alınır.
Burada:
-
İlk AC kaynak için \omega = 1\,\text{rad/s}, dolayısıyla:
- Z_{C1} = \frac{1}{j (1) (1/6)} = \frac{1}{\frac{1}{6} j} = 6(-j) = -\,j6.
- Z_{L1} = j (1)(2) = j2.
-
İkinci AC kaynak için \omega = 3\,\text{rad/s}, dolayısıyla:
- $Z_{C2} = \frac{1}{j (3) (1/6)} = \frac{1}{\frac{3}{6} j} = \frac{1}{\frac{1}{2}j} = 2(-j)= -,j2.
- $Z_{L2} = j (3)(2) = j6.
DC analizinde:
- Bir kapasitör açık devre davranışındadır (ideal ve uzun süre sonunda akım akmaz).
- Bir indüktör kısa devre davranışındadır (üzerinde gerilim düşümü kalmaz).
Aşağıdaki bölümlerde; her kaynağın tek başına aktif olduğu üç alt devre analiz edilecektir.
3. Alt Devre 1: Sadece 10 sin(t − 30°) V Gerilim Kaynağı Etkin
3.1 Diğer Kaynakların Devre Dışı Bırakılması
- 24 V DC gerilim kaynağı: Devre dışı bırakılınca kısa devre ile değiştirilir (ideal gerilim kaynağı sıfıra ayarlanmış kabul edilir).
- 2 cos(3t) A akım kaynağı: Devre dışı bırakılınca açık devre ile değiştirilir (kaynak akımını sıfıra düşürmek için devreyi açmak gerekir).
3.2 Devrenin AC Analizi (Frekans: 1 rad/s)
Bu alt devreyi fazör yöntemle veya doğrudan karmaşık empedanslarla analiz edebiliriz. Burada özetle fazör yöntemi tercih edilir:
- Dirençler:
- 1 Ω, 2 Ω, 4 Ω gibi saf dirençlerdeki empedans: Z_R = R (reel değer).
- Kapasitör (C = 1/6\,\text{F}) için empedans:
[
Z_C = -,j \frac{1}{\omega C}
= -,j6 \quad (\omega=1,; C=1/6).
] - Endüktör (L = 2\,\text{H}) için empedans:
[
Z_L = j \omega L
= j2 \quad (\omega=1,; L=2).
]
Bu alt devre yeniden çizildikten sonra (kısa devre ve açık devre yerleştirildikten sonra) i_{o1}(t) akımını fazörle bulabilirsiniz. Mesela devrede 4 Ω dirence giden kolu bulmak için devrenin eşdeğer empedansları, düğüm gerilimi ya da çevre akımları gibi analize gidilir.
Örnek yol (herkesin devre çizimi az farklı olabilir):
- Gerilim kaynağı 10 sin(t−30°) → fazör ifadesi: V_g = 10\angle{-30^\circ} \, (\text{volt})
- Ardından devre, seri ve paralel elemanları bulup eşdeğer empedans hesabıyla 4 Ω üzerindeki akım fazörünü elde ederiz: I_{o1} = \tilde{I}_{o1} \angle{\theta_{1}}.
Zaman domeninde ise:
[
i_{o1}(t)
= \sqrt{2},\big|\tilde{I}{o1}\big|\sin\big(\omega t + \phi\big)
]
veya literatüre uygun biçimde,
[
i{o1}(t) = \operatorname{Re}\left{ \tilde{I}_{o1} e^{j(\omega t)} \right},
]
ifadesiyle dönüştürülür. Faz genişletmesi bir hayli uzun olduğu için burada ayrıntılı sayısal değer yerine yöntemi vurgulayarak devam ediyoruz. Önemli olan, Alt Devre 1’den i_{o1}(t) adını verdiğimiz akımı bulmaktır.
4. Alt Devre 2: Sadece 24 V DC Kaynağı Etkin
4.1 Diğer Kaynakların Devre Dışı Bırakılması
- 10 sin(t − 30°) V kaynağı: Devre dışı bırakmak için kısa devre (gerilim kaynağı sıfırlanınca, yerine kısa devre konur).
- 2 cos(3t) A akım kaynağı: Devre dışı bırakmak için açık devre.
4.2 DC Analizi (Kalıcı Hal)
DC’de kondansatörler açık devre, endüktörler kısa devre kabul edilir (idealde uzun zaman sonra).
- Kapasitör (C=1/6\,\text{F}): Kalıcı rejimde üzerine akım akmayacağından devreden çıkmış (açık devre) kabul edilir.
- Endüktör (L=2\,\text{H}): Kalıcı rejimde uçları arasında gerilim oluşmaz, dolayısıyla kısa devre kabul edilir.
Ortaya çıkan basitleştirilmiş DC devresinde geriye sadece dirençlerin yer aldığı dallar ve DC kaynağı kalır. Bu yeni DC devresinde, 24 V’luk kaynaktan 4 Ω üzerindeki akımı buluruz: Bu akıma i_{o2} diyelim. Bu akım sabit (DC) değer olacaktır.
Örnek akış:
- 24 V kaynaktan 2 Ω, 4 Ω veya 1 Ω gibi seri/paralel bağlar üzerinden akım geçer.
- Endüktör (kısa devre) sebebiyle muhtemelen 2 H bobin, kablo gibi davranır. Kondansatör (açık devre) üzerinden akım geçmez.
- Bu şekilde 4 Ω direncinden geçen sabit akım hesaplanır:
[
i_{o2} = \frac{24 ,\text{V}}{R_{\text{eş}}}
]
Burada R_{\text{eş}} devrenin 24 V kaynağına bakan eşdeğer direnci (4 Ω’nin bulunduğu kol dâhil) ifade eder.
Elde edeceğimiz sonuç:
[
i_{o2}(t) = I_{\text{DC}} = \text{(belirli sabit bir değer)}.
]
5. Alt Devre 3: Sadece 2 cos(3t) A Akım Kaynağı Etkin
5.1 Diğer Kaynakların Devre Dışı Bırakılması
- 10 sin(t − 30°) V kaynağı: Devre dışı bırakmak için kısa devre (gerilim kaynağı → 0 V).
- 24 V DC kaynağı: Devre dışı bırakmak için kısa devre.
5.2 Devrenin AC Analizi (Frekans: 3 rad/s)
Burada akım kaynağı i_s(t) = 2 \cos(3t) ifadesiyle veriliyor. Bu bir AC kaynağıdır ve açısal frekansın \omega_2 = 3\,\text{rad/s} olduğu anlaşılır. Bu nedenle:
- Kapasitör: Z_{C2} = \frac{1}{j \omega_2 C} = -\,j2.
- Endüktör: Z_{L2} = j \omega_2 L = j6.
- Dirençler: 1 Ω, 2 Ω, 4 Ω yine reel empedansta kalır.
Bu durumda devredeki gerilim kaynakları “kapatılmış” yani kısa devre haline gelmiştir. Özetle, devrede 2 cos(3t) A akım kaynağı ile seri ve/veya paralel dirençler, endüktör ve kondansatör kalır. Burada akımın bölündüğü dalları inceleyerek 4 Ω direncinden geçen akımı buluruz. Bu akıma i_{o3}(t) diyebiliriz.
Fazör yöntemi ile:
- Akım kaynağının fazör değeri:
[
\tilde{I}_s = 2 \angle{0^\circ} ; (\text{A}),
]
çünkü 2\cos(3t) = 2 \sin(3t + 90^\circ) olarak da yazılabilir. Fakat genellikle \cos(\theta) = \sin(\theta+90^\circ), faz açısı +90° demektir. Önemli olan sabit faz farkını doğru yansıtmaktır. - Sonra, devrede kısa devre konumundaki gerilim kaynakları kablo gibi davranır. Direnç, endüktör, kapasitor dalları incelenerek 4 Ω üzerindeki akım bileşeni hesaplanır.
Sonuçta bu alt devreden elde ettiğimiz zaman domenindeki akım:
[
i_{o3}(t) = I_{\text{genlik}} \cos(3t - \alpha)
]
veya benzer bir sinüs ifadesi şeklinde bulunur.
6. Toplam Akım i_{o}(t)
Süperpozisyon teoremine göre elde edilen son cevap, üç alt cevabın zaman alanında toplamıdır. Burada her alt devre farklı frekansta veya DC olduğu için fazörler doğrudan tek bir fazöre indirgenemez:
[
i_{o}(t)
= i_{o1}(t) ;+; i_{o2}(t) ;+; i_{o3}(t).
]
- i_{o1}(t): \omega = 1\,\text{rad/s} kaynaklı sinüsoidal bileşen (fazı -30° civarında).
- i_{o2}(t): DC bileşen (sabit değer).
- i_{o3}(t): \omega = 3\,\text{rad/s} kaynaklı cosinüs veya sinüs şeklinde bir bileşendir.
Dolayısıyla, nihai akım:
[
i_{o}(t) = \underbrace{A_1 \sin(t - \phi_1)}_{\text{Frekans }1,\text{rad/s}}
- \underbrace{I_{\text{DC}}}_{\text{Sabit Bileşen}}
- \underbrace{A_3 \cos(3t - \phi_3)}_{\text{Frekans }3,\text{rad/s}}
]
formunda olabilir. Burada katsayılar (A_1, \phi_1, I_{\text{DC}}, A_3, \phi_3) devre parametrelerine göre bulunur.
7. Adım Adım Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda her alt devre için hangi kaynakların etkin olduğu, diğer kaynakların nasıl kapatıldığı, devrenin tipik empedans davranışı ve elde edilen akım bileşeninin genelleşmiş göstergesi yer almaktadır:
| Alt Devre | Etkin Kaynak | Kapalı Kaynaklar | Kapalı Kaynak Şekli | Analiz Türü | Elde Edilen Akım |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 sin(t−30°) V (AC) | 24 V DC, 2 cos(3t) A (AC) | 24 V → kısa devre 2 cos(3t) A → açık devre |
AC Analizi (ω=1 rad/s) Kapasitör & Endüktör kompleks empedans |
iₒ₁(t): Sinüsoidal bileşen (ω=1) |
| 2 | 24 V DC | 10 sin(t−30°) V, 2 cos(3t) A | Her iki AC gerilim kaynağı → kısa devre, akım kaynağı → açık devre | DC Kalıcı Hal C → açık devre L → kısa devre |
iₒ₂(t): Sabit (DC) |
| 3 | 2 cos(3t) A (AC) | 24 V DC, 10 sin(t−30°) V | 24 V → kısa devre 10 sin(t−30°) → kısa devre |
AC Analizi (ω=3 rad/s) Kapasitör & Endüktör yeni kompleks empedans |
iₒ₃(t): Sinüsoidal bileşen (ω=3) |
Sonuçta:
[
\boxed{
i_{o}(t) = i_{o1}(t) + i_{o2}(t) + i_{o3}(t)
}
]
şeklinde nihai cevap elde edilir.
8. Sonuçların Değerlendirilmesi ve Özet
- Süperpozisyon teoremi, devrede birden fazla bağımsız kaynak bulunduğunda her birinin tek başına devreye uygulanıp sonuçların zaman domeninde toplanabileceğini belirtir.
- Devremizde üç farklı kaynak vardır:
- 10 sin(t−30°) V (AC, \omega=1 rad/s)
- 24 V DC
- 2 cos(3t) A (AC, \omega=3 rad/s)
- Her kaynak için devre uygun şekilde sadeleştirilir ve i_{o1}(t), i_{o2}(t), i_{o3}(t) akımları hesaplanır.
- Farklı frekanslı sinüzoidaller ve DC bileşen doğrudan toplanır (Freely eklenebilir, çünkü hepsi zamandaki ayrı bileşenlerdir).
- Böylece i_{o}(t) = i_{o1}(t) + i_{o2}(t) + i_{o3}(t) bulunur.
Sözgelimi bir son ifade (keyfi örnek, sayısal değildir) şu türde olabilir:
Bu tip bir sonuç, devrenin parametrelerine bağlı rakamsal bir örnektir. Gerçekte 1.2, 3 ve 0.7 gibi katsayılar devre parametrelerinden (1 Ω, 2 Ω, 4 Ω, 2 H, 1/6 F vb.) sayısal olarak detaylı çözümlerle elde edilir.
Kaynaklar
- Nilsson, J.W., & Riedel, S. (2019). Electric Circuits. Pearson.
- Boylestad, R.L. (2016). Introductory Circuit Analysis. Prentice Hall.
Adım Adım Süperpozisyon Yöntemi ile i_o Akımını Hesaplama
Sorunun Amacı: Süperpozisyon teoremini kullanarak, devredeki kaynakları ayrı ayrı değerlendirerek i_o akımını bulmak.
Devredeki Kaynaklar
Devrede aşağıdaki üç kaynak mevcuttur:
- 10\sin(t - 30^\circ) V (Sinüsoidal gerilim kaynağı)
- 24 V (Sabit DC gerilim kaynağı)
- 2\cos(3t) A (Sinüsoidal akım kaynağı)
Her bir kaynağı aktif hale getirirken diğerlerini pasifleştirerek çözüm yapacağız.
Adım 1: İlk Kaynak Aktifken (10\sin(t - 30^\circ) V)
Diğer iki kaynak pasif:
- 24V sabit gerilim kaynağı: Kısa devre yapılır.
- 2\cos(3t) akım kaynağı: Açık devre yapılır.
Bu durumda devre yalnızca 10\sin(t - 30^\circ) V gerilim kaynağını içerir.
Empedanslar (Frekans Alanında Hesaplama)
-
Kapasitör:
$$Z_C = \frac{-j}{\omega C} = \frac{-j}{1 \cdot (1/6)} = -j6 , \Omega$$ -
Bobin:
$$Z_L = j \omega L = j \cdot 2 \cdot 1 = j2 , \Omega$$ -
Dirençler:
Direnç değerleri değişmez, yani:
$$Z_{\text{direnç}} = R$$
Devreyi Çözümleme
Doğru devre analizi yapılması için sinüsoidal kaynak kullanılarak verilen impedance değerleri üzerinden çözüm yapılmalıdır. Akım i_o^{(1)} için KVL ve KCL uygulanır.
Adım 2: İkinci Kaynak Aktifken (24 V Sabit Gerilim Kaynağı)
Diğer iki kaynak pasif:
- 10\sin(t - 30^\circ) gerilim kaynağı: Kısa devre yapılır.
- 2\cos(3t) akım kaynağı: Açık devre yapılır.
Bu durumda devre yalnızca 24 V sabit kaynağı içeren bir DC devre olur. DC devrede:
- Kapasitör: Açık devre olarak alınır.
- Bobin: Kısa devre olarak alınır.
- Dirençler üzerinden normal değerleme yapılır.
Akım i_o^{(2)} için dirençlere voltaj bölme veya Kirchoff kanunlarını kullanarak çözüm yapılır.
Adım 3: Üçüncü Kaynak Aktifken (2\cos(3t) A Akım Kaynağı)
Diğer iki kaynak pasif:
- 10\sin(t - 30^\circ) gerilim kaynağı: Kısa devre yapılır.
- 24V sabit gerilim kaynağı: Kısa devre yapılır.
Bu durumda sadece sinüsoidal akım kaynağı aktif olur. Akım kaynağını çözmek için:
- Kompleks empedans değerleri (Kapasitör ve Bobin dahil) hesaplanır.
- Dirençler ve empedanslar üzerinden akım ve voltaj değerleri için denklem oluşturulur.
Akım i_o^{(3)} hesaplanır.
Sonuçların Toplanması
Her bir kaynaktan elde edilen akımlar i_o^{(1)}, i_o^{(2)}, ve i_o^{(3)} vektörel olarak toplanır:
$$i_o = i_o^{(1)} + i_o^{(2)} + i_o^{(3)}$$
Sonuç, toplam akım i_o değerini verecektir.
Devre analizi için matematiksel detayları göstermek ister misiniz, yoksa sonuç adımlarını mı hızlandırayım? @username