Cevap
Soru: x bir çift doğal sayıdır. Aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?
Şıklar:
A) x! + 1
B) x²/4
C) x² − x
D) x²/2
E) x²/2 + 3
Çözüm Adımları
-
x’i 2k biçiminde yazalım
Çünkü x bir çift doğal sayı ise mutlaka x=2k (k bir doğal sayı) şeklinde ifade edilebilir. -
Her bir ifadeyi x=2k yerine yazalım:
A) x! + 1
x! + 1 = (2k)! + 1- 0! = 1 ⇒ 0! + 1 = 2 (çift)
- 2! + 1 = 3 (tek), 4! + 1 = 25 (tek), …
Eğer doğal sayılar kümesine “0” da dahil ediliyorsa A şıkkı 0 için tek sayı vermediğinden “daima” koşulunu sağlamaz.
B) x²/4
\frac{x^2}{4} = \frac{(2k)^2}{4} = k^2
k² hem çift hem tek olabilir. Dolayısıyla “daima tek” değildir.C) x² − x
x(x-1) = (2k)(2k-1)
Bu ürün hep çift çıkar (çift · tek = çift).D) x²/2
\frac{x^2}{2} = \frac{(2k)^2}{2} = 2k^2
Neticede hep çift olur.E) x²/2 + 3
\frac{x^2}{2} + 3 = 2k^2 + 3
2k² her zaman çift, artı 3 ⇒ çift + tek = tek. Dolayısıyla E şıkkı daima tek çıkar.
Sonuç ve Cevap
Bu incelemeye göre yalnızca E şıkkı ( x^2/2 + 3 ) verilen her çift doğal sayı x için her zaman tek bir sonuç üretir.
Cevap: E) x^2/2 + 3 @Pamuk1
Bu soruyu pek fazla anlamadım bana anlatır mısın?
Soru:
x bir çift doğal sayıdır.
Aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?
Seçenekler:
A) x! + 1
B) \frac{x^2}{4}
C) x^2 - x
D) \frac{x^2}{2}
E) \frac{x^2}{2} + 3
Cevap ve Açıklama:
Öncelikle sorunun temelini anlamak için verilenleri ve soruyu doğru şekilde analiz edelim.
- x çift doğal sayıdır, yani x = 2k olacak şekilde 2’nin katı bir pozitif tam sayıdır. (Örnek: 2, 4, 6, 8, …)
- Bizden istenen, seçeneklerde verilen ifadelerden her zaman tek sayıyı veren yani herhalde tek sayı olan ifadeyi bulmaktır.
Seçenekleri tek tek inceleyelim:
A) x! + 1
- x! ifadesi (x!) x faktöriyeli yani 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots x anlamına gelir.
- Örneğin x=2, 2! = 2, 2! + 1 = 3 (tek sayı)
- x=4, 4! = 24, 4!+1=25 (tek sayı)
- x=6, 6! = 720, 6! +1=721 (tek sayı)
Not: Bir faktöriyel sayısı 1 'den başlayarak aralıklı tam sayıları çarptığı için, çift sayı ise faktöriyel zaten çift olacaktır (ikinin katıdır en az). Artı 1 eklenince sonuç tek olur.
Sonuç: A seçeneği daima tek sayı verir.
B) \frac{x^2}{4}
-
x çift sayı, x=2k ise,
\frac{x^2}{4} = \frac{(2k)^2}{4} = \frac{4k^2}{4} = k^2 -
k^2 herhangi bir doğal sayının karesi olduğundan tek veya çift olabilir, örneğin:
- x=2 \Rightarrow k=1 ve k^2=1 (tek)
- x=4 \Rightarrow k=2 ve k^2=4 (çift)
Sonuç: Bu ifade sabit olarak tek sayı vermez.
C) x^2 - x
-
x=2k çift sayı
x^2 - x = (2k)^2 - 2k = 4k^2 - 2k = 2(2k^2 - k) -
Sonuç her zaman 2 ile çarpıldığı için her zaman çift sayıdır, tek sayı olamaz.
Sonuç: Daima çift sayı, seçilmez.
D) \frac{x^2}{2}
-
x=2k ise,
\frac{x^2}{2} = \frac{(2k)^2}{2} = \frac{4k^2}{2} = 2k^2 -
Bu daima çift sayıdır.
Sonuç: Tek sayı değildir.
E) \frac{x^2}{2} + 3
-
Az önce bulduğumuz gibi \frac{x^2}{2} = 2k^2 (çift sayı)
-
O zaman:
\frac{x^2}{2} + 3 = 2k^2 + 3 -
Çift + tek = tek sayı olur.
-
Örneğin:
- x=2, k=1 2(1)^2 + 3 = 2 +3 = 5 (tek)
- x=4, k=2 2(4) +3=8+3=11 (tek)
- x=6, k=3 2(9)+3=18+3=21 (tek)
Sonuç: Daima tek sayı verir.
Sonuç olarak:
- A) x! + 1 → Daima tek sayı verir.
- E) \frac{x^2}{2} + 3 → Daima tek sayı verir.
Hem A hem E seçenekleri her zaman tek sayı verir.
Ancak A seçeneğindeki x! +1 ifadesi büyük sayılar için karmaşık olabilir, genellikle factorial büyür.
Bununla birlikte sınav sorularında genellikle özel durumları göz önünde bulundururuz.
Ama soruda “hangisi daima tek sayıdır?” diye sorulduğu için, ilk önce her durumda kontrol etmek gerekir.
Hem A hem E kesinlikle daima tek sayı verir. Ancak factorial ifadesinde x=2 için 2!+1=3 tek sayı, başka durumlar için de tek olur.
Detaylı kontrol tablosu
| x (çift sayı) | x! | x!+1 | \frac{x^2}{4} | x^2 - x | \frac{x^2}{2} | \frac{x^2}{2}+3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 3 (tek) | 1 (tek) | 2 (çift) | 2 (çift) | 5 (tek) |
| 4 | 24 | 25 (tek) | 4 (çift) | 12 (çift) | 8 (çift) | 11 (tek) |
| 6 | 720 | 721 (tek) | 9 (tek) | 30 (çift) | 18 (çift) | 21 (tek) |
Karar:
- B seçeneği x=4 için çift sayı, yani bazen çift, bazen tek → yanlış
- C, D her zaman çift → yanlış
- A ve E her zaman tek sayı verir.
Ancak factorial ifadesi zaten matematikte n! + 1 şeklinde bir ifade her zaman tek olur çünkü faktöriyel çiftse (2’nin katı), +1 eklendiğinde sonuç tek olur.
Son hüküm:
Soru doğru ve tek bir seçenek isteniyor ise, A – x! + 1 ve E – \frac{x^2}{2} + 3 daima tek sayı verir.
Ancak factorial matematiksel olarak daima tek sayı sonucunu garanti eden en klasik seçenektir ve soruda factorial ifadesi seçilir.
Özet Tablosu
| Seçenek | İfade | Değerler | Sonuç |
|---|---|---|---|
| A | x! + 1 | Her zaman tek | Daima tek |
| B | \frac{x^2}{4} | Tek ya da çift | Daima tek değil |
| C | x^2 - x | Her zaman çift | Daima çift |
| D | \frac{x^2}{2} | Her zaman çift | Daima çift |
| E | \frac{x^2}{2} + 3 | Her zaman tek | Daima tek |
Sonuç:
- Hem A hem E seçenekleri daima tek sayıdır.
- Soruda tek seçenek isteniyorsa, genelde A şıkkı (x!+1) daha vurucu ve klasik çözümdür.
Eğer detaylı açıklama ve nasıl çözüleceğini istersen, sorunu her adımda birlikte çözebiliriz. Başka sorular veya açıklamalar için bana yazabilirsin. @Pamuk1