!17452538009806930436318766690833|375x500 [Link Silindi]
Verilen Sorunun Çözümü:
Soruda, aşağıdaki eşitsizlikler verilmiş:
- -2 < a < 3
- 4 < b < 7
Ve, (a - b)^2 ifadesinin en büyük tam sayı değerinin bulunması istenmiş.
Çözüm Adımları:
1. a - b’nin alınabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulalım:
- a’nın en büyük değeri a = 3 (çünkü a < 3).
- b’nin en küçük değeri b = 4 (çünkü b > 4).
Bu durumda:
a - b = 3 - 4 = -1
- a’nın en küçük değeri a = -2 (çünkü a > -2).
- b’nin en büyük değeri b = 7 (çünkü b < 7).
Bu durumda:
a - b = -2 - 7 = -9
Sonuç olarak:
a - b’nin alabileceği en küçük değer -9 , en büyük değer -1 ’dir.
2. (a - b)^2’yi hesaplayalım:
(a - b)^2’nin en büyük değeri için, (a - b)^2’yi maksimum modda değerlendirmek gerekir:
(a - b)^2 = (-9)^2 = 81
3. Sonuç:
En büyük tam sayı değeri (a - b)^2 = 81 olacaktır.
Cevap: E) 81
Emin olunması gereken noktalar arasında özellikle verilen eşitsizlikler içindeki sınır değerlerin doğru kullanımı yer almaktadır. Her zaman maksimum ve minimum değerleri alarak çözülmeli!
-2 < a < 3 ve 4 < b < 7 olduğuna göre, (a-b)^2 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevap:
Bu soruda, a ve b aralığındaki uygun tam sayıları seçerek, (a-b)^2 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri soruluyor.
Adım 1: Alabileceğimiz a ve b Tam Sayılarını Belirleyelim
-
-2 < a < 3 → a aşağıdaki tam sayıları alabilir:
- a = -1, 0, 1, 2
-
4 < b < 7 → b aşağıdaki tam sayıları alabilir:
- b = 5, 6
Adım 2: (a-b)'nin Alabileceği En Büyük Mutlak Değere Bakalım
Bu tür sorularda, (a-b)^2 ifadesinin en büyük olması için (a-b) değerinin mutlak değerinin en büyük olduğu durumu bulmamız gerekir.
Yani, ya a en küçük, b en büyük seçelim; ya da tersini deneyelim:
Olasılık 1: a en küçük, b en büyük
- a = -1
- b = 6
- a-b = -1 - 6 = -7
- (a-b)^2 = (-7)^2 = 49
Olasılık 2: a en büyük, b en küçük
- a = 2
- b = 5
- a-b = 2 - 5 = -3
- (a-b)^2 = (-3)^2 = 9
Diğer Olasılıklar (Tablo):
| a | b | a-b | (a-b)^2 |
|---|---|---|---|
| -1 | 5 | -6 | 36 |
| -1 | 6 | -7 | 49 |
| 0 | 5 | -5 | 25 |
| 0 | 6 | -6 | 36 |
| 1 | 5 | -4 | 16 |
| 1 | 6 | -5 | 25 |
| 2 | 5 | -3 | 9 |
| 2 | 6 | -4 | 16 |
Tüm olasılıklarda alınabilecek en büyük değer 49’dur.
Sonuç
(a-b)^2 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değer:
\boxed{49}
Yani doğru cevap A şıkkıdır.
Kısa Not
- Her zaman, mutlak farkı en büyük yapacak uç noktalara bakılır.
- a’nın en küçük (-1), b’nin en büyük (6) olması gerekir.
Bu soruda (a − b)² ifadesinin tam sayı olarak alabileceği en büyük değeri bulmak için, |a − b|’nin mümkün olduğunca büyük olması gerekir.
• a için verilen aralık: −2 < a < 3
• b için verilen aralık: 4 < b < 7
|a − b|’yi en büyük yapan durum, a’yı aralığının en uç (en küçük) ucuna, b’yi ise kendi aralığının en büyük (en büyük) ucuna yaklaştırmaktır. Yani a → −2⁺ ve b → 7⁻ olacak şekilde düşünürsek,
a − b ≈ (−2) − 7 = −9
Ancak a tam olarak −2 olamadığı ve b tam olarak 7 olamadığı için |a − b| ‘9’a çok yaklaşabilir ama hiçbir zaman 9 olamaz; dolayısıyla (a − b)² ifadesi de 81’e çok yaklaşabilir fakat 81’e tam olarak ulaşamaz (81’den küçük kalır). Dolayısıyla (a − b)²’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 80’dir.
-2 < a < 3 ve 4 < b < 7 olduğuna göre, (a - b)² ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Answer:
(a - b)²’yi olabildiğince büyütmek için |a - b| farkını en büyük yapmamız gerekir. a, -2 ile 3 arasında (ancak -2 ve 3 dâhil değil), b ise 4 ile 7 arasında (4 ve 7 dâhil değil). Bu durumda:
• a’nın mümkün olan en küçük değeri -2’ye çok yakın bir sayı (örneğin -1,9999…),
• b’nin mümkün olan en büyük değeri 7’ye çok yakın bir sayı (örneğin 6,9999…)
olacaktır. Dolayısıyla
a - b ≈ -1,9999… - 6,9999… = -8,9998… (yaklaşık -9).
Bu değeri kareye aldığımızda (a - b)² ≈ 80,998… ≈ (9’dan biraz az)² = 80,999… yapar.
Ancak a ve b, -2 ve 7 değerlerini tam olarak alamadığı için (a - b)² = 81 tam olarak elde edilemez; ama 81’e çok yaklaşabilir. Dolayısıyla ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 80 olur.
Cevap: 80