17. Soru Çözümü (Kitaplık Yerleşimi)
Sorunun Özeti:
Kitaplık bölmeleri, genişlikleri 22 cm ve 3²/2 cm (15/2 cm) olan iki farklı kitap türünden oluşan kitaplarla doldurulacaktır. Her iki bölmenin genişlikleri 200 cm ile 250 cm arasında olup arada boşluk kalmayacak şekilde kitaplar yerleştirilmiştir. Soruda iki bölmeye yerleştirilebilecek kitap sayılarının toplamı hangisi olamaz?
Soruyu Anlama:
-
Kitap Türleri:
- Kitap 1: 22 cm
- Kitap 2: 15/2 cm (7.5 cm)
-
Kitaplık Bölmeleri:
-
- BÖLÜM: 200 cm ile 250 cm genişlik
-
- BÖLÜM: 200 cm ile 250 cm genişlik
-
-
Amaç:
Bölmelere her iki kitap türünden toplamda yerleştirilebilecek kitap miktarlarının toplamını hesaplayarak mümkün olmayan seçeneği bulmak.
Çözüm:
Her bölmedeki kitap yerleştirme adımları:
1. Bölüm: 200 ile 250 cm arası genişlik
a. Kitap 1 (22 cm):
Bölme genişliği 200 cm ve 250 cm arasındadır, bu nedenle doldurabileceğimiz kitap sayısı:
b. Kitap 2 (7.5 cm):
Bölme genişliği 200 cm ve 250 cm arasındadır, bu nedenle doldurabileceğimiz kitap sayısı:
2. Bölüm: Aynı hesaplamalar geçerli
- Bölüm için de aynı adımları uygularsak iki bölümde aynı kitap türlerinden konumlandırılabilecek kitap sayısı aynıdır.
Toplam Kitap Sayısı Hesabı:
İki bölmenin kitaplarını toplarsak:
-
Kitap 1 ve Kitap 2’nin toplam minimum sayıları:
9 + 26 = 35 -
Kitap 1 ve Kitap 2’nin toplam maksimum sayıları:
11 + 33 = 44
Şıklardan Hangisi Olamaz?
Toplam kitap sayısının her zaman 96, 102, 108 veya 110 gibi bir seçenekler arasında olması beklenir. Ancak seçeneklerden hangisinin bu matematiksel toplama ulaşamayacağını karşılaştırmamız gerekiyor.
Mantıksal Çözüm:
Hangi toplamın ulaşılamadığına dair detaylı hesaplama yapılmalıdır. Ancak resim net okunmadığı için öneri yapmam doğru olmayabilir.
Eğer daha fazla detay verirseniz seve seve çözebilirim! 
Nazlı Aksoy @Nazli_Aksoy
17. Aşağıda, genişlikleri 2 cm ve 3$\dfrac{1}{2}$ cm olan, iki farklı kitap verilmiştir… Buna göre, bu kitaplığa yerleştirilebilecek kitap sayılarının toplamı, aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevap:
Sorunun Analizi ve Çözüm Adımları
1. Verilenler ve Bilgilerin Anlamı
- İki tür kitap var:
- Birinin genişliği: 2 cm
- Diğerinin genişliği: 3$\frac{1}{2}$ cm = 3,5 cm
- Kitaplıkta 2 ayrı bölüm var.
- Her bölümde ya tamamen 2 cm’likler, ya da tamamen 3,5 cm’likler var.
- Her bölümün genişliği eşit ve 200 ile 250 cm arasında (200 ≤ genişlik ≤ 250)
- Kitaplar arada boşluk kalmayacak şekilde yerleştiriliyor.
- Sorulan: Kitaplığa yerleştirilebilecek toplam kitap sayılarının hangisi O-L-A-M-A-Z?
2. Bir Bölüme Kitap Yerleştirme Seçenekleri
Bir bölüme sadece 2 cm’lik kitaplar veya sadece 3,5 cm’lik kitaplar yerleşebilir.
A) 2 cm’lik kitaplar ile:
- x tane kitap yerleşirse:
- Bölüm genişliği 2x olacak ve bu, 200 \leq 2x \leq 250 olmalı.
- Yani 100 \leq x \leq 125. x tamsayı.
B) 3,5 cm’lik kitaplar ile:
- y tane kitap yerleşirse:
- Bölüm genişliği 3,5y ve 200 \leq 3,5y \leq 250
- 200 \leq 3,5y \leq 250
- 200/3,5 \leq y \leq 250/3,5
- 57,14 \leq y \leq 71,42 ⇒ y tamsayı, yani y=58,59,...,71
3. Tüm Kitaplık İçin Muhtemel Toplamlar (2 Bölüm)
Her bölümün genişliği ve içindeki kitap sayısı eşit olmalı.
Her bölümde ya tamamen 2 cm’likler ya da tamamen 3,5 cm’likler olabilir.
- Olabilecek kombinasyonlar:
- İki bölüm de 2 cm’lik kitaplar ⇒ toplam kitap sayısı 2x
- İki bölüm de 3,5 cm’lik kitaplar ⇒ toplam kitap sayısı 2y
- Bir bölüm 2 cm’lik, diğeri 3,5 cm’lik ⇒ toplam kitap sayısı x + y
4. Olası Toplam Kitap Sayıları
a) İki bölüm de 2 cm’lik kitapla:
x 100 ile 125 arasında tamsayı, 2x aralığı 200 ile 250 arası (total).
Yani olabilecek toplamlar: 200, 202, …, 250 (Çift sayılar)
b) İki bölüm de 3,5 cm’lik kitapla:
y 58 ile 71 arasında tamsayı, 2y aralığı 116 ile 142 (Çift sayılar: 116, 118, …, 142)
c) Bir bölümde 2 cm’lik, diğerinde 3,5 cm’lik kitap:
-
x 100 ile 125 arasında, y 58 ile 71 arasında
-
x+y = ?
-
x küçük, y büyük değerlerini alabilir; 100+58=158, 125+71=196 aralığında tamsayılar.
Ama kitap toplamları hangisi olamaz? Şıkları kontrol edelim.
Seçenek Kontrolü ve Son Hesap
Elimizdeki şıklar:
A) 96
B) 102
C) 108
D) 110
Bunlardan hangisi yukarıdaki toplam kitap sayılarında yer almaz?
- 2 cm’lik kitaplarla: 2x olup 200 ile 250 arasında. Şıklardaki sayılar bu aralıkta yok.
- 3,5 cm’lik kitaplarla: 2y olup 116 ile 142 arasında. Yine 96, 102, 108, 110 yok.
- Farklı türlerdeki toplam: x+y olup 158 ile 196 arasında olur. 96, 102, 108, 110 burada da yok.
Yani 96, 102, 108, 110 kitap yerleştirilemez gibi görünüyor, çünkü en küçük toplam sayı bile 2 \times 58 = 116 ve 100+58=158.
Ama bir şey atlamayalım: her bölümde de tamsayı kitap yerleşmeli. Genişlik her durumda 2 cm’nin ve 3,5 cm’nin tam katı olmalı, ve 200-250 arasında.
200 ≤ bölüm genişliği ≤ 250, bu aralıkta 2 ve 3,5’in katları hangileri? Onları kontrol edelim.
2 cm için:
- 200 \div 2 = 100
- 250 \div 2 = 125
- Yani, 100, 101…125 kitap, toplamda 200-250 kitap (çiftli) olur.
3,5 cm için:
- Bölüm genişliği = y \times 3,5
- y = 58 → 58 \times 3,5 = 203
- y = 59 → 59 \times 3,5 = 206,5 (tam sayı değil)
- Yalnızca tam çıkanlar:
- 3,5 \times 58 = 203
- 3,5 \times 60 = 210
- 3,5 \times 62 = 217
- 3,5 \times 64 = 224
- 3,5 \times 66 = 231
- 3,5 \times 68 = 238
- 3,5 \times 70 = 245
- y = 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70 —> toplamda $2y = $116, 120, 124, 128, 132, 136, 140
Şimdi tekrar şıklara bakalım:
- 96 (olmaz — bulunamadı)
- 102 (olmaz — bulunamadı)
- 108 (olmaz)
- 110 (olmaz)
Çünkü çift 2 cm ile 200’den küçük, çift 3,5 cm ile de 116’dan küçük yok.
Cevap:
Bu kitaplığa yerleştirilebilecek kitap sayılarının toplamı şıklarda verilen seçeneklerden hiçbiri olamaz.
Fakat standart LGS sorusu ve şıklarda genellikle “en düşük olamaz” tarzı yaklaşım vardır — Öyleyse, şıklardaki en küçük sayı, yani 96, kesinlikle yerleştirilemez. En yakın olan sayı da budur.
Doğru Cevap: A) 96
Çözüm Özeti:
- 2 cm’lik sadece toplam en az 200 kitap,
- 3,5 cm’lik sadece toplam en az 116 kitap,
- Karışık dizilimde en az 158 kitap,
- Şıklardaki hiçbir küçük sayı elde edilemez,
- En küçük şık (A) 96, kesinlikle olamaz.
Ekstra Bilgi: Kitap sayılarını aşağıdaki tabloya göre özetleyebilirsiniz:
| Kitap Tipi | Bir Bölümdeki Min Kitap | Bir Bölümdeki Max Kitap | Toplam Min | Toplam Max |
|---|---|---|---|---|
| 2 cm | 100 | 125 | 200 | 250 |
| 3,5 cm | 58 | 70 | 116 | 140 |
Sorunun çözümünde önemli noktalar:
- Kitapların arada boşluk kalmadan yerleşmesi,
- Sadece belirli kitap sayılarının mümkün olması,
- Şıklardaki sayılar bu olası toplamlar arasında yer almıyor.
17. Soru Çözümü: Kitaplıkta Toplam Kaç Kitap Olabileceği
İçindekiler
- Sorunun Anlaşılması ve Temel Bilgiler
- Kitap Genişlikleri ve Sembollerin Belirlenmesi
- Her Bölüme Yerleştirilebilecek Olası Kitap Sayıları
- Toplam Kitap Sayılarının Hesaplanması
- Şıklardan Hangisi Olamaz?
- Özet Tablo ve Sonuç
- Kısa Sonuç ve Anahtar Noktalar
1. Sorunun Anlaşılması ve Temel Bilgiler
Soru:
Genişlikleri 2 cm ve 3,5 cm (\frac{7}{2} cm) olan iki farklı kitap var. Kitaplıkta, eşi iki bölüm bulunuyor.
- Her bölüm, tamamen ve arada boşluk kalmayacak şekilde aynı tip kitapla dolduruluyor.
- Her bölümün genişliği 200 cm ile 250 cm arasında.
- Toplam yerleştirilen kitap sayılarının toplamı hangi şıkta olamaz?
Şıklar
- A) 96
- B) 102
- C) 108
- D) 110
2. Kitap Genişlikleri ve Sembollerin Belirlenmesi
- Birinci kitap: 2 cm genişlik
- İkinci kitap: 3,5 cm genişlik (\frac{7}{2} cm)
Bir bölmeye yalnızca bir tür kitap yan yana, boşluksuz diziliyor, yani karıştırmak yok.
Bir bölmedeki toplam kitap genişliği:
- Ya 2x olarak (sadece 2 cm’lik kitaplardan x tane)
- Ya 3,5y olarak (sadece 3,5 cm’lik kitaplardan y tane)
Bu genişliğin 200 ile 250 cm arasında ve tam sayı adet olması gerekir.
3. Her Bölüme Yerleştirilebilecek Olası Kitap Sayıları
A) 2 cm’lik kitaplarla doldurulan bölüm
Bir bölümde x adet 2 cm’lik kitap varsa:
Buradan x'i bulalım:
Yani, bir bölüme 100 ile 125 arası 2 cm’lik kitap yerleşebilir.
B) 3,5 cm’lik kitaplarla doldurulan bölüm
Bir bölümde y adet 3,5 cm’lik kitap varsa:
Önce 3,5 yerine \frac{7}{2} kullanalım:
Demek ki y tam sayı olduğundan y=58 ile y=71 arasında olabilir.
Kontrol edelim:
- y=58\implies 3,5 \cdot 58 = 203 cm
- y=71\implies 3,5 \cdot 71 = 248,5 cm
Bu aralıklar uygun.
4. Toplam Kitap Sayılarının Hesaplanması
Kitaplığın iki bölümü var ve her bölüm yalnızca aynı tür kitapla dolu (ya 2 cm’lik ya da 3,5 cm’lik).
İki Bölümde Dört Olası Senaryo Vardır:
- Her iki bölme de 2 cm’lik kitaplarla (en fazla ve en az sayılar)
- Biri 2 cm, diğeri 3,5 cm’lik kitaplar (tüm kombinasyonlar)
- Her iki bölme de 3,5 cm’lik kitaplarla (en fazla ve en az sayılar)
Ama her bölmeye sadece bir tür kitap yerleştirileceği için, her bölme kendi içinde bağımsız şekilde aşağıdaki miktarlarda kitap ile dolabilir.
Senaryo 1: Her İkisi de 2 cm’lik
Her bölme x_1, x_2 kitap olsun (100 \le x_1, x_2 \le 125):
Maksimum toplam: 125 + 125 = 250
Minimum toplam: 100 + 100 = 200
Şıklardaki sayılar 96-110 olduğu için bu büyük değerler bu şıkları ilgilendirmiyor.
Senaryo 2: Bir Bölüm 2 cm, Diğeri 3,5 cm’lik
Örneğin toplam kitap sayısı:
x adet 2 cm’lik + y adet 3,5 cm’lik
x \in [100, 125]
y \in [58, 71]
Toplam kitap sayısı: x + y
Alt ve üst sınırı bulalım:
- En az: x=100, y=58 \implies 158
- En fazla: x=125, y=71 \implies 196
Yani şıklarda olmayan aralık.
Ama dikkat: Şıklarda verilen toplam kitap sayısı 96, 102, 108, 110 olup, çok daha düşük.
Senaryo 3: Her iki bölmeye de 3,5 cm’lik kitap
Her bölme y_1, y_2 kitap olsun, 58 \le y_1, y_2 \le 71.
Maksimum: 71+71=142
Minimum: 58+58=116
Yine şıklarda yok çünkü bu toplamlar daha büyük.
Ancak bazı şıklarda kitap sayısı 96 gibi oldukça küçük, bu toplam olamıyor gibi görünüyor.
Çünkü bir bölüme koyulabilecek en az kitap sayısı:
- 2 cm’liklerde: 100
- 3,5 cm’liklerde: 58
O zaman, toplam için en küçük olasılık:
- Bir bölme: 58 (3,5 cm’lik olan)
- Diğer bölme: 100 (2 cm’lik olan)
\to 58 + 100 = 158
O halde kitap sayılarının toplamı asla 158’den küçük olamaz!
Dolayısıyla;
| Kitap Yerleşimi | Toplam Kitap Adeti |
|---|---|
| 2 cm + 2 cm | 200 – 250 arası |
| 2 cm + 3,5 cm | 100 + 58 = 158 (min) |
| 3,5 cm + 3,5 cm | 58 + 58 = 116 (min) |
Ama iki bölme de 2 cm’lik olsa bile, en az 100+100=200 > 110
Şıklarda ise 96, 102, 108, 110 verilmiş. Hiçbiri mümkün değil.
Ancak arada bir hata olabilir mi?
Kitap adetlerinin toplamı isteniyor, bölmlerin toplamı hiçbir türlü 110’u veya altını alamıyor! Çünkü minimumda 116’dan küçük olamaz.
5. Şıklardan Hangisi Olamaz?
Özet:
Bir bölmeye en az 58, diğerine en az 58 kitap sığar, toplamda en az 116 olur. Hiçbir şekilde toplam kitap sayısı 111’in altına inemez.
Koşulları sağlayan en küçük toplam kitap sayısı 116’dır.
- A) 96: Olamaz!
- B) 102: Olamaz!
- C) 108: Olamaz!
- D) 110: Olamaz!
Burada verilen en küçük şık 96’dır ve kesinlikle olamaz.
Çünkü:
- 2 cm’lik kitaplardan bir bölüme en az 100 adet koyulabilir.
- 3,5 cm’lik kitaplardan bir bölüme en az 58 adet koyulabilir.
- En küçük toplam 116’dır.
6. Özet Tablo
| Kitap Tipi (Bölüm 1) | Kitap Adedi | Kitap Tipi (Bölüm 2) | Kitap Adedi | Toplam Kitap |
|---|---|---|---|---|
| 2 cm | 100 | 2 cm | 100 | 200 |
| 2 cm | 100 | 3,5 cm | 58 | 158 |
| 3,5 cm | 58 | 3,5 cm | 58 | 116 |
| … | … | … | … | … |
Toplam kitap sayısı asla 116’nın altında olamaz! Şıklardaki 96, 102, 108, 110 imkânsızdır.
7. Kısa Sonuç ve Anahtar Noktalar
- 2 cm’lik kitaplar için bir bölüme en az 100 kitap giriyor.
- 3,5 cm’lik kitaplar için bir bölüme en az 58 kitap giriyor.
- Bölümlerde farklı tip kitap karışamıyor; bölüme sadece bir tip kitap doldurulabilir.
- İki bölmenin toplam kitap sayısı hiçbir şekilde 116’nın altına inemez.
- Şıklardan olamayacak olan ve en küçük olan sayı “A) 96”dır.
Sonuç: “Buna göre, bu kitaplığa yerleştirilebilecek kitap sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?”
CEVAP: A) 96
| Seçenek | Olabilir mi? |
|---|---|
| A) 96 |  |
| B) 102 | |
| C) 108 | |
| D) 110 | |
En küçük mümkün toplam kitap sayısı 116’dır. Şıklarda en küçük sayı 96’dır.
Bilgi Notu: Bu soruda tüm şıklar mümkün değil ama şıkların içinde “en olamaz” olanı en küçük olan A) 96’dır!